Интеграл фурье. Преобразование фурье.

Теорема. Если f(t) кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция и удовлетворяет условиям абсолютной интегрируемости, т. е.

, то функция f(t) представляется интегралом Фурье:

(1)

На практике обычно используют комплексную форму интеграла Фурье:

(2)

Покажем, что ряд (1) и (2) эквивалентны

Обозначим

Ясно, что - четная функция , а функция - нечетная функция . Поэтому

в силу нечетности функции.

Окончательно получим, что

Представим интеграл (2) в виде .

Обозначим (3)

тогда (4)

Равенство (4) прямое преобразование Фурье. Оно позволяет вещественной функции f(t) поставить в соответствие функцию F(iw). Обычно прямое преобразование Фурье записывают в виде . Равенство (4) задает обратное преобразование Фурье. Оно позволяет по комплексной функции F(iw) восстановить вещественную функцию f(t).

Преобразования Фурье относятся к интегральным преобразованиям. Переход от вещественной функции f(t) к комплексной функции F(iw) позволяет упростить некоторые математические операции, например, дифференцирование вещественной функции f(t) в комплексной области (для функции F(iw) это соответствует умножению на iw).

Символически прямое преобразование Фурье представляется в виде:

, а обратное .

Рассмотрим физический смысл интеграла (4). Множитель задает гармоническую функцию. По определению интеграл представляет собой операцию суммирования по частоте w . Таким образом, из равенства (4) следует, что периодическую функцию можно представить в виде бесконечной суммы гармонических функций, при этом в отличии от ряда Фурье частота w в (4) изменяется непрерывно от до . По аналогии с рядом Фурье функцию F(iw) называют комплексный спектр (спектральная характеристика, спектральная плотность).