Циклические группы

Пусть g – произвольный элемент группы G. Тогда, принимая , мы получим минимальную подгруппу, порожденную одним элементом.

Определение. Минимальная подгруппа , порожденная одним элементом g группы G, называетсяциклической подгруппой группы G.

Определение. Если вся группа G порождена одним элементом, т.е. , то она называетсяциклической группой.

Пусть g элемент мультипликативной группы G, тогда мультипликативная подгруппа состоит из всех различных степеней элемента g. Следовательно, число элементов в подгруппесовпадает с порядком элемента т. е.

число элементов в группе равно порядку элемента ,

.

С другой стороны, имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Порядок любого элементаравен порядку минимальной подгруппы, порожденной этим элементом.