§. Основные свойства несобственного интеграла.

А. Множество функций, интегрируемых на промежутке в несобственном смысле, образуют линейное пространство со стандартно введенными операциями сложения функций и умножения функции на число, а несобственный интеграл по этому промежутку является линейным функционалом на указанном линейном пространстве. Это значит, что

1).

2). , где значокозначает если интегралы стоящие в правой части существуют (сходятся) и конечны, то интеграл стоящий в левой части существует, конечен и равен указанной в левой части линейной комбинации.

Б. Монотонность. Несобственный интеграл есть монотонный функционал на ;

Т. Несобственный интеграл от неотрицательной функции неотрицателен, т.е.

.

 

. ▲

Отсюда следует собственно монотонность несобственного интеграла

.

В. Интегрируемость по подпромежутку. .

Г. Аддитивность. .

Д. Формула Ньютона–Лейбница. Рассмотрим функцию . Тогда

1) F – непрерывна на .2) F – дифференцируема п. в. на .

3) , исключая не более чем счетное множество точек.

Тогда для несобственного интеграла справедлива формула, аналогичная формуле Ньютона–Лейбница для определенного интеграла .

Е. Формула интегрирования по частям. Пусть дифференцируемы на, причем, хотя бы одна из них непрерывно дифференцируема, то:.

Ж. Замена переменной в несобственном интеграле. Если функция непрерывно дифференцируема и строго монотонна, то

.

З. Необходимое, но недостаточное условие сходимости несобственного интеграла.

Для сходимости интеграла необходимо, чтобы интегралы по всем конечным подпромежуткам промежутка интегрирования существовали и были конечны. Однако выполнение такого условия недостаточно для сходимости интеграла. Если ввести в рассмотрение функцию , то сходимость интеграла означает.

Пример. существует для любого конечного промежутка, но=

= ==. Однако последний предел не существует и, следовательно,.

И. Несобственно интегрируемая функция должна быть непрерывна п. в. на .

Если , то она непрерывна напочти всюду.

К. Если п.в. наисуществует, то он равен нулю.