Уравнение Бернулли

Определение. Уравнение вида

у ¢ + р (х) у = f (x) y ⁿ,

где р(х), f(x)-непрерывные функции от х, а п¹0, п¹1, называется уравнением Бернулли.

Это уравнение приводится к линейному следующим образом

у^-п у ¢ + р (х) у^{-n + 1} = f (x)

Вводится замена z = y ^{– n + 1}. Тогда z ¢ = (– n + 1) y ^{– n} y ¢

Таким образом, получили линейное уравнение относительно функции z

z ¢ + (– n + 1) p (x) z = (– n + 1) f (x).

Получив его общий интеграл и подставив вместо z выражение

у ^{– п + 1}, получим общий интеграл уравнения Бернулли.

Замечание. Решение уравнения Бернулли можно искать и в виде у =u (x)∙v(x) как это описано при решении уравнения (13.9).