§ 6. Прямая сумма подпространств

Определение и примеры прямой суммы и не прямой суммы подпространств.

Теорема 1. Следующие условия равносильны.

1. Сумма U₁+U₂ подпространств U₁ и U₂ является прямой суммой.

2. Существует вектор а подпространства U₁+U₂, который единственным образом представляется в виде а = а₁+а₂, где а₁ÎU₁, а₂ÎU₂.

3. U₁ÇU₂ = q.

4. dim(U₁+U₂) = dim U₁ + dim U₂.

План доказательства: 1 Þ 2 Þ 3 Þ 1. 3  4.

Теорема 2. Если U произвольное подпространство конечномерного векторного пространства V, то V можно представить в виде прямой суммы подпространства U и некоторого другого подпространства W.