§ 2. Ортогональность. Ортонормированная система векторов. Изоморфизм евклидовых пространств

Ортогональные системы векторов. Ортонормированные системы векторов.

Теорема 1. Свойства ортогональности и ортонормированности.

1°. a^q.

2°. a^b Þ b^a.

3°. b^a₁, a₂, ..., a_k Û b^L(a₁, a₂, ..., a_k).

4°. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

5°. Для любой системы векторов a₁, a₂, ..., a_k, где k < dim E_n, найдётся ненулевой вектор, ортогональный им всем.

6°. В E_n существует ортогональный базис.

7°. В E_n существует ортонормированный базис.

Теорема 2. Критерий ортонормированного базиса.

Система из n линейно независимых векторов a₁, a₂, ..., a_n n-мерного евклидова пространства E_n является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда для любых x, yÎ E_n, если x = a₁a₁+a₂a₂+ ... +a_na_n, y = b₁b₁+b₂b₂+ ... +b_nb_n, то (x, y) = a₁b₁+a₂b₂+ ... +a_nb_n.

Изоморфизм евклидовых пространств и отношение изоморфизма.

Теорема 3. Свойства изоморфизма евклидовых пространств.

Содержание этой теоремы и его доказательство полностью повторяет содержание теоремы 5.3.3.

Теорема 4. Свойства векторов и их систем, сохраняемые при евклидовых изоморфизмах.

Свойства 1°–6° такие же, как свойства изоморфизма векторных пространств (Т. 6.3.4.).

7°. Евклидов изоморфизм сохраняет длину вектора.

8°. Евклидов изоморфизм сохраняет величину угла.

9°. Евклидов изоморфизм сохраняет ортогональность.

10°. Евклидов изоморфизм сохраняет расстояние между векторами.

Теорема 5. Критерий изоморфизма конечномерных евклидовых пространств.

Два конечномерных евклидовых пространства изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.