§ 5. Подпространства векторного пространства

Определение подпространства.

Теорема 1. Критерий подпространства.

Подмножество U векторного пространства V над полем Р является подпространством этого пространства тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1) U ¹ Æ; 2) a₁, a₂ÎU Þ a₁+a₂ÎU; 3) lÎР, aÎU Þ laÎU.

Примеры подпространств.

1. q и V.

2. Множества симметрических, кососимметрических, верхних треугольных матриц в пространстве квадратных матриц.

3. Линейная оболочка системы векторов L(a₁, a₂, ..., a_k).

Теорема 2. Размерность линейной оболочки.

dim L(S) = r(S).

Теорема 3. Всякое подпространство U конечномерного векторного пространства V является линейной оболочкой некоторой конечной системы векторов:

U = L(a₁, a₂, ..., a_k). При этом dim U £ dim V.

Пересечение и сумма подпространств.

Теорема 4. Тождество Грассмана.

Для любых конечномерных подпространств U₁ и U₂ произвольного векторного пространства выполняется равенство

dim(U₁+U₂) = dim U₁ + dim U₂ – dim (U₁ÇU₂).

План доказательства

Дополнить базис A подпространства U₁ÇU₂ до базисов (A, B) и (A, C) подпространств U₁ и U₂ соответственно и проверить, что система векторов (A, B, C) составляет базис U₁+U₂.