§ 5. Кратные корни многочлена

Понятие корня кратности k.

Теорема. Число корней многочлена с учётом их кратностей.

Сумма кратностей всех корней ненулевого многочлена не превосходит его степени, при этом равенство выполняется тогда и только тогда, когда многочлен разлагается на линейные множители.

Лемма 1. Всякий многочлен fÎA[x] может быть представлен в виде

f = (x–a₁) (x–a₂) ... (x–a_s) g, (1)

где a₁, a₂, ..., a_s – различные элементы кольца А, а g – многочлен, не имеющий корней в А.

Лемма 2. Если многочлен представлен в виде (1), то a₁, a₂, ..., a_s – это все его корни, причём кратность корня a_i равна k_i, i = .

Формулы Виета.