2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:
При этом в случаях из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.
Затем имеем
в предположении, что и существуют все три интеграла.
Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки в число точек деления промежуткапри составлении суммы Стилтьеса для интеграла.
По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла следует уже существование обоих интегралов
и .
Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовской суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграланайдется такое, что любые две суммыиСтилтьеса, которым отвечаюти, разнятся меньше чем на. Если при этом в состав точек деления включить точку, а точки деления, приходящиеся на промежуток, брать в обоих случаях одними и теми же, то разностьсведется к разностидвух сумм Стилтьеса, относящихся уже к промежутку, ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежуткуи вычисленным для него стилтьесовским суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла. Аналогично устанавливается и существование интеграла.
Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоих интегралов и, вообще говоря, не вытекает существование интеграла.
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке функцииизаданы следующими равенствами:
;
Легко видеть, что интегралы
оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда , для второго - из постоянства функции, благодаря чему всегда
В то же время интеграл
не существует. Действительно, разобьем промежуток на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму
Если точка 0 попадет в промежуток , так что, то в суммеостанется только одно-е слагаемое; остальные будут нули, потому что
для .
Итак,
В зависимости от того, будет ли или, окажетсяили, так чтопредела не имеет.
Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке для обеих функцийи.
- Содержание
- Глава I. Развитие понятия интеграла
- 1.1 Проблема моментов
- Глава II. Интеграл Стилтьеса
- 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
- 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
- 2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
- 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
- 2.5 Интегрирование по частям
- 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
- 2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
- 2.8 Примеры
- 2.10 Теорема о среднем, оценки
- 2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
- 2.12. Примеры и дополнения
- Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
- 3.1 Применение в теории вероятностей
- 3.2 Применение в квантовой механике
- Заключение
- Список литературы
- Приложение