Задача 6
1) Доказать, что для любых множеств А, В, С верно равенство А\(ВС ) = (А\В) (А\С).
2) Проиллюстрировать это равенство геометрически.
Решение.
1) Обозначим: М = А\(В С), К = (А\В) (А\С). Для доказательства равенства М = К достаточно доказать утверждения:
а) М К, т.е. для любого х, если х М, то х К;
б) К М , т.е. для любого х, если х К, то х М.
в) Пусть любое х А\(В С). По определению разности двух множеств х А и х (В С). Если бы х принадлежал хотя бы одному и множеств В и С, то, по определению объединения, х принадлежал бы В С. Поэтому из того, что х В С, следует, что х В и х С. Так как х А и х В, то х А\В. Так как х А и х С, то х А\С. По определению пересечения множеств, х (А\В) (А\С).
г) Пусть любое х (А\В) (А\С). По определению пересечения множеств, х А\В и х А\С. По определению разности множеств х А, xВ, xС. Тогда х В С. А так как х А и х В С, то x А\(В С) .
Вывод: М К и К М, тогда М = К.
2) Изобразим множества А, В и С. Сделаем два одинаковых рисунка, на одном выделим множество М, на другом множество К.
Наклонной штриховкой обозначено множество В С. Двойной штриховкой обозначено тожество М =А\(В С)
|
|
Вертикальной штриховкой обозначено А\В, горизонтальной А\С. Двойной штриховкой обозначено множество К = (А\В) (А\С) |
|
- Предисловие
- I. Множества и операции над ними
- Понятие множества
- Способы задания множеств. Отношения между множествами
- 3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- 4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- Задача 3.
- Задача 6
- Контрольные вопросы
- Упражнения
- 5. Разбиение множества на классы
- 6. Декартово умножение множеств
- II. Элементы математической логики
- 2. Высказывания с кванторами
- Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- 3. Отношение логического следования и равносильности
- Строение теоремы. Виды теорем
- 6. Математические понятия
- Отношения между понятиями
- Умозаключения
- III. Соответствия и отношения
- Соответствия между элементами двух множеств.
- 2. Функции
- 3. Бинарные отношения
- Алгебраические операции
- IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- Об аксиоматическом построении теории
- Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- Свойства операции сложения
- Свойства операции умножения
- Вычитание и деление
- Правило вычитания числа из суммы
- Правило вычитания суммы из суммы
- Деление суммы на число
- Деление разности на число
- Деление произведения на число
- 4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- 5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- 1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- 2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- Свойства операции сложения
- 3. Умножение целых неотрицательный чисел
- Свойства операции умножения
- 4. Деление