logo
Praktikum_po_mat

Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»

___________________________________________________________________

Определение 3. Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, которая каждой паре натуральных чи­сел а и b ставит в соответствие число вида (а + b) и обладает свойствами:

1.(а )а + 1 = а';

2. (а, b ) а + b' = (а + b)'.

_____________________________________________________________________________________________

Свойства операции сложения 1 и 2 – это аксиомы и обозначим их А5 и А6. Символически это определение можно записать так:

, +>, (а, b )( а, b)а + b,

А5. (а ) а + 1= а'

А6. (а, b )( а + b') = (а + b) '.

Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b – слагаемыми.

Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и определено однозначно.

Известную всем таблицу сложения однозначных чисел можно вывести, пользуясь определением сложения и теоремой о существовании и единственности сложения.

Условимся о следующих обозначениях:

1' = 2; 2' = 3; 3' = 4; 4' = 5; 5' = 6; 6' = 7; 7' = 8; 8' = 9; 9' = 10.

Таблица:

1) прибавление числа 1 :

  1. + 1 1' = 2;

  2. + 1 2' = 3;

…

9 + 19' = 10.

2) прибавление числа 2:

  1. + 2 = 1 + 1' (1 + 1)'2' = 3.

  2. + 2 = 2+1' (2+1)'3' = 4.

…

8 + 2 = 8+1' (8 + 1)' 9'= 10.

Если продолжать этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.

___________________________________________________________________

Определение 4. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, которая каждой паре натуральных чисел а и b ставит в соответствие число вида а b и обладает свойствами:

  1. (а ) а 1= а;

  2. (а, b ) а b' = аb +a .

______________________________________________________________________________________________

Число а b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b – множителями.

Свойства операции умножения – это аксиомы и обозначим их А7, А8. Символически это определение можно записать так:

,  > (а, b )( а, b) а b.

А7(а ) а 1= а

А8 (а, b ) а b' = аb +a

Теорема 4. Умножение натуральных чисел существует и определено однозначно.

Таблицу умножения однозначных чисел можно вывести, используя определение умножения, теорему о существовании и единственности умножения и таблицу сложения.

Таблица:

1. Умножение на 1:

по А7(а ) а 1= а

1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3; 4 1 = 4; 5 1 = 5; 6 1 = 6; 7 1 =7; 8 1= 8; 9 1= 9.

2. Умножение на 2:

(символическая запись т.у. – таблица умножения)

1 2=1 1' 1 1 + 1 1+12.

2 2 = 2 1' 21+2 2 + 2 4;

3 2 = 31' 31 +3 3 + 36;

…

9 2 = 9 1' 9 1 + 9 9+ 9 18.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.