Задача 6

1) Доказать, что для любых множеств А, В, С верно равенство А\(ВС ) = (А\В)  (А\С).

2) Проиллюстрировать это равенство геометрически.

Решение.

1) Обозначим: М = А\(В  С), К = (А\В)  (А\С). Для доказательства равенства М = К достаточно доказать утверждения:

а) М  К, т.е. для любого х, если х  М, то х  К;

б) К  М , т.е. для любого х, если х  К, то х  М.

в) Пусть любое х  А\(В  С). По определению разности двух множеств х  А и х (В  С). Если бы х принадлежал хотя бы одному и множеств В и С, то, по определению объединения, х принадлежал бы В  С. Поэтому из того, что х  В  С, следует, что х  В и х  С. Так как х  А и х  В, то х  А\В. Так как х  А и х  С, то х  А\С. По определению пересечения множеств, х  (А\В)  (А\С).

г) Пусть любое х  (А\В)  (А\С). По определению пересечения множеств, х  А\В и х  А\С. По определению разности множеств х  А, xВ, xС. Тогда х  В  С. А так как х  А и х  В  С, то x  А\(В  С) .

Вывод: М  К и К  М, тогда М = К.

2) Изобразим множества А, В и С. Сделаем два одинаковых рисунка, на одном выделим множество М, на другом множество К.