§ 9. Кольцо многочленов над факториальным кольцом

Теорема 1. Группа обратимых элементов кольца A[x] совпадает с группой обратимых элементов кольца А.

Теорема 2. Если кольцо А факториально, то кольцо A[x] также факториально.

Примитивные многочлены. Содержание многочлена.

Лемма 1. Всякий многочлен fÎA[x] представляется в виде f = dj, где dÎA,

j – примитивный многочлен. Такое представление единственное, с точностью до ассоциированности над А.

Лемма 2. Всякий многочлен gÎР[x], где Р – поле частных кольца А, представляется в виде f = j, где m, nÎA, j – примитивный многочлен.

Лемма 3. Всякий простой в A[x] многочлен является примитивным многочленом. Наоборот, всякий примитивный многочлен является либо простым многочленом, либо представляется в виде произведения примитивных многочленов меньшей степени.

Лемма 4. Лемма Гаусса. Произведение примитивных многочленов также является примитивным многочленом.

Лемма 5. Если два примитивных многочлена ассоциированы над полем частных факториального кольца, то они ассоциированы и над самим этим кольцом.

Лемма 6. Если многочлен fÎA[x] приводим над полем частных Р кольца А, то многочлен приводим и над А.