4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
Присоединим к множеству N еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел и обозначается N0 или Z0. Таким образом, N0= N {0}.
Относительно числа 0 условились, что оно меньше любого натурального числа, а арифметические операции в случае, когда одна из компонент равна нулю, определяются равенствами:
(а N) а + 0 = 0 + а = а; (а N) а – 0 = а;
(а N) а 0 = 0 а = 0; (а N) 0 : а = 0;
Кроме того, будем считать, что:
0 + 0 = 0; 0 0 = 0; 0 – 0 = 0; а – а = 0.
Можно, используя отношение «непосредственно следовать за», понятий, введенных относительно множества N0 и вышеприведенных равенств, сформулировать определения множества N0, сложения и умножения на множестве N0 (аналогично соответствующим определениям на множестве N).
Теорема 12.
Деление на нуль невозможно.
Доказательство.
Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.
Рассмотрим случай, когда а 0. Предположим, что частное таких чисел существует, т.е. ( с Nо)а = с 0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а 0 и b = 0 не существует.
Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное чисел а = 0 и b = 0 существует, т.е. ( с Nо) такое, что выполняется равенство 0 = с 0, истинное при любых значениях с. Таким образом, частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль невозможно.
______________________________________________________________________
Определение 10. Пусть а – целое неотрицательное число, а b – число натуральное. Разделить а на b с остатком – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0 r < b (q называют неполным частным, r – остатком).
___________________________________________________________________________________________________
Например: а) при делении 26 на 3 получим неполное частное 8 и остаток 2, 26 = 3 8 + 2; б) при делении 0 на 4, q = 0, r = 0, 0 = 4 0 + 0; в) при делении 1 на 5 получим неполное частное 0 и остаток 1, 1 = 5 0 +1.
Если такая пара чисел q и r существует, то единственна ли она для заданных чисел а и b. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 13. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального b существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что а = bq + r, причем 0 r < b. Эта пара чисел q и r- единственная для заданных а и b.
Задача 15.
Числа а и b при делении на 7 дают соответственно остатки 2 и 6. Какой остаток получится, если разделить на 7 произведение аb?
Решение.
Число а при делении на 7 дает в остатке 2 и поэтому имеет вид: а = 7q+ 2, q Nо. Аналогично b = 7р + 6, р Nо. Рассмотрим произведение этих чисел:
аb= (7q + 2)(7р + 6) = 49рq + 14р + 42q + 12 = 7 (7рq + 2р + 6q + 1) + 5= 7t+ 5.
t
Итак, ab = 7t + 5, t N0
Таким образом, установлено, что произведение чисел а и b при делении на 7 дает в остатке 5.
Контрольные вопросы
Объясните, почему не существует значение выражения 5:0?
Дайте понятие деления с остатком. Разделите с остатком: а) 33 на 8; б) 47 на 5; в) 11 на 17.
Сформулируйте теорему о существовании и единственности пары чисел q и r при делении а на b.
Известно, что при делении т на п получили неполное частное q и остаток 15. Известно также, что одно из чисел т, п и q равно 12. Какое?
Упражнения
330. Разделите на 6 с остатком каждое из чисел от 6 до 19. На какие классы разбивается данное множество в зависимости от остатков, получаемых при делении на 6?
331. Найдите частное и остаток при делении а на b, результат запишите в виде: а = bq + r, если:
а) а = 59, b =13;
б) а = 225, b=15;
в) а = 780, b= 37.
332. При делении с остатком числа а на b получили частное q и остаток r. Найдите:
а) а, если b = 12, q = 4, r = 7;
б) b, если а = 118, q = 9, r = 1;
в) а, если b = 7, q = 15, r = 3;
г) b, если а = 237, q = 15, r = 12.
333. На множестве A = {х\х N, 1 0 100} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 10». На какие классы разобьются числа множества А при помощи данного отношения? В каком классе окажутся 37; 94; 100?
334. На сколько классов разбивается множество N при помощи отношения:
а) «иметь один и тот же остаток при делении на 2»;
б) «иметь один и тот же остаток при делении на 8».
Почему возможно такое разбиение?
Назовите по одному представителю из каждого класса разбиения множества N в случае б).
335. Одно число на 68 больше другого. При делении одного из них на другое с остатком в частном получится 6 и в остатке 8. Найдите эти числа.
336. При делении с остатком числа а на 4 в остатке получается r. Представьте число а в виде bq +r, если:
а) r =3; б) r = 2; в) r = 1; г) r = 0.
337. Какой вид имеет число а, если при делении на 6 оно дает в остатке: а) 2; б) 4; в) 0 ? Какие еще остатки могут получиться при делении числа а на 6?
338. Назовите 3 натуральных числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Как называются эти числа и каков их общий вид?
339. При делении чисел а и b на 12 получается один и тот же остаток 9. Какой остаток получится при делении на 12 числа а) а + b; б) а – b; в) а b
340. Сформулируйте, используя отношение «непосредственно следовать за» и соответствующие аксиомы, определения:
а) множества целых неотрицательных чисел;
б) сложения на множестве N0;
в) умножения на множестве N0.
341. Рассматривая множество целых неотрицательных чисел, запишите свойства операций:
а) сложения;
б) умножения;
342. Докажите свойства операций, о которых говорится в № 345.
343. Докажите, что если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то число а b + 1 делится на 3. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
344. Число а при делении на 3 дает остаток 1. Какой остаток при делении на 3 дадут числа а2, а3?
345. Число а при делении на 3 дает остаток 2. Какой остаток при делении на 3 дадут числа а2, а3?
- Предисловие
- I. Множества и операции над ними
- Понятие множества
- Способы задания множеств. Отношения между множествами
- 3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- 4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- Задача 3.
- Задача 6
- Контрольные вопросы
- Упражнения
- 5. Разбиение множества на классы
- 6. Декартово умножение множеств
- II. Элементы математической логики
- 2. Высказывания с кванторами
- Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- 3. Отношение логического следования и равносильности
- Строение теоремы. Виды теорем
- 6. Математические понятия
- Отношения между понятиями
- Умозаключения
- III. Соответствия и отношения
- Соответствия между элементами двух множеств.
- 2. Функции
- 3. Бинарные отношения
- Алгебраические операции
- IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- Об аксиоматическом построении теории
- Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- Свойства операции сложения
- Свойства операции умножения
- Вычитание и деление
- Правило вычитания числа из суммы
- Правило вычитания суммы из суммы
- Деление суммы на число
- Деление разности на число
- Деление произведения на число
- 4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- 5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- 1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- 2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- Свойства операции сложения
- 3. Умножение целых неотрицательный чисел
- Свойства операции умножения
- 4. Деление