§ 2. Арифметическое n-мерное векторное пространство Pn

Векторы. Скаляры. Сумма двух векторов. Произведение вектора на число.

Теорема 1. Простейшие свойства операций над векторами.

1°. ("a)("b)(a+b = b+a).

2°. ("a)("b)("c)(a+(b+c) = (a+b)+c).

3°. ($q)("a)(a+q = a).

4°. ("a)($ )(a+ = q).

5°. ("a)("b)("a)(a(ba) = (ab)a).

6°. ("a)("b)("a)((a+b)a = aa+ba).

7°. ("a)("a)("b)(a(a+b)) = aa+ab).

8°. ("a)(1×a = a).

Разность векторов.

Теорема 2. Дальнейшие свойства векторов.

1°. Нуль единственный.

2°. Для каждого вектора противоположный ему единственный.

3°. ("a)(–(–a) = a).

4°. ("a)("b)(–(a+b) = (–a)+(–b)).

5°. Уравнение a + x = b разрешимо при всех a и b, причём единственным образом.

6°. ("a)("b)(a–b = a+(–b)).

7°. ("a)(0×a = q).

8°. ("a)(a×q = q).

9°. ("a)("a)(aa = q ® a = 0Úa = q).

10°. ("a)("a)((–a)a = a(–a) = –aa).

11°. ("a)("a)("b)(a(a–b)) = aa–ab).

12°. ("a)("b)("a)((a–b)a = aa–ba).