13.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям .

При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т. е. найти уравнения, в которых известные функции входят под знаком производной. Эти уравнения называют дифференциальными.

Характерное свойство дифференциальных уравнений - иметь бесконечное множество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее развитие данного процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например знать начальное состояние процесса, т. к. без этого дополнительного условия задача недоопределена и аналогична такой: «Автомобиль движется по прямолинейному шоссе в направлении к городу А с постоянной скоростью v₀. Через какое время он придет в город А?». Обозначив путь, пройденный автомобилем за время t от начала наблюдения, через S = S (t), получим закон движения автомобиля: v₀.

Для того, чтобы найти ответ на поставленный вопрос, необходимо знать начальное положение автомобиля, т. е. на каком расстоянии от города А находится автомобиль в начальный момент времени.

Составить дифференциальное уравнение, описывающее изучаемый эволюционный процесс или зависимость между характеристиками исследуемого явления, чаще оказывается не проще, чем решить его. Универсального метода составления дифференциального уравнения не существует, поэтому можно лишь дать некоторые общие указания. Пусть у = у (х) - искомая зависимость между характеристиками х и у изучаемого процесса. При составлении дифференциального уравнения, решением которого является функция у (х), необходимо выразить, насколько изменится эта функция, когда независимая переменная х получит приращение ∆х, т. е. выразить разность у (х + ∆ х) – у(х) через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на ∆х и перейдя к пределу при ∆х ® 0, получим дифференциальное уравнение, т. е. зависимость скорости изменения величины у в точке х. Во многих случаях указанная зависимость определяется на основании закона или экспериментального факта, установленного в той или иной области естествознания. При этом, в частности, используется геометрический смысл производной (тангенс угла наклона касательной) и ее физический смысл (скорость протекания процесса).

Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

З а д а ч а 13.1. Кривая у = f (х) проходит через точку с координатами (1; 2). Каждая касательная к этой кривой пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Найти кривую у = f (х).

Решение. Пусть точка с координатами (х; у) – произвольная точка на искомой кривой. Тогда уравнение касательной, проведенной к этой кривой в точке (x; y), будем искать в виде

Y – y = (X – x),

где Х, Y – текущие координаты точек касательной.

Из условия, что касательная пересекает прямую y = 1 в точке с абсциссой 2х, получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая:

1 – у = (2 х – х) или х = 1 – у.

Разделив переменные

и проинтегрировав это уравнение находим

По условию искомая кривая проходит через точку (1; 2), поэтому подставив в найденное уравнение х = 1, y = 2 найдем постоянную С:

.

Окончательно, уравнение искомой кривой имеет вид

.

З а д а ч а 13.2. Тело, имеющее в начальный момент времени температуру T (0) = T₀, поместили в среду, температура которой поддерживается неизменной и равна T₁. Как будет изменяться температура тела с течением времени?

Решение. Обозначим через T (t) температуру тела в момент времени t. Экспериментально установлено, что при определенных упрощениях скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это означает, что

,

где k – коэффициент пропорциональности, k>0.

Знак минус в правой части уравнения соответствует экспериментальным данным: если T – T₁ >0, то температура тела убывает и поэтому скорость его изменения отрицательна, если же T – T₁ <0, то температура тела возрастает, следовательно, скорость ее изменения положительна.

Итак, процесс нагревания (или охлаждения) тела в среде с неизмененной температурой моделируется полученным уравнением, все решения которого выражаются формулой .

Учитывая условие T (0) = T₀, находим искомую зависимость температуры тела от времени:

.

Функция T (t) возрастает, если T₀ – T₁ < 0 (тело нагревается), и убывает, если T₀ – T₁ > 0 (тело охлаждается). В обоих случаях с возрастанием t значение функции T (t) стремится к T₁.

Многие реальные процессы моделируются дифференциальными уравнениями, содержащими вторую производную неизвестной функции. О таких уравнениях говорят, что они являются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Рассмотрим задачу, которая приводит к дифференциальному уравнению второго порядка.

З а д а ч а 13.3. Материальная точка массы m свободно падает под действием силы тяжести. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти закон движения точки.

Решение. На вертикальной оси, вдоль которой падает точка, выберем точку отсчета О и определим положительное направление точки О вниз. Положение точки определяется координатой y (t), изменяющейся со временем t. Точка падает под действием силы тяжести ; поэтому, согласно второму закону Ньютона, , где , имеем или . Интегрируя дважды последнее соотношение, находим:

, .

Полученная формула определяет закон движения материальной точки, однако, как и в предыдущих примерах, она содержит постоянные интегрирования, в данном случае – две. Зная начальное положение падающей точки О – y (0) = y₀ и ее начальную скорость v(0)= v₀, из совокупности функций выберем одну, описывающую движение точки.

Так как скорость движения точки v (t) , то при указанных начальных условиях ; поэтому искомая функция имеет вид

.

Таким образом, получили известную формулу пути, пройденного точкой при равномерно ускоренном движении.

В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, решение которых сходно с решением рассматриваемых выше. О таких задачах говорят, что они сводятся к дифференциальным уравнениям. Характер этих задач и методику их решения можно схематически описать примерно так. Происходит некоторый процесс, например физический, химический, биологический. Нас интересует определенная функциональная характеристика этого процесса. Если имеется достаточно полная информация о течении этого процесса, то можно попытаться построить его математическую модель. Во многих случаях такой моделью служит дифференциальное уравнение, одним из решений которого является искомая функциональная характеристика процесса. Дифференциальное уравнение моделирует процесс в том смысле, что оно описывает развитие процесса, характер происходящих с материальной системой изменений, возможные варианты этих изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

Первый этап решения задачи заканчивается составлением дифференциального уравнения для искомой функции y (t). С этого этапа задача переведена на язык математики.

Перейдем ко второму этапу. Рассмотрим математическую задачу «в чистом виде»: решить данное дифференциальное уравнение, найти все его решения или только те, для которых выполняются определенные дополнительные условия. Эта задача решается на основе теории дифференциальных уравнений. Опыт показывает, что разные по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Поэтому необходимо выработать приемы решения таких классов уравнений для тех задач, которые привели или могут привести к ним. Этим и занимается раздел математики, называемый теорией дифференциальных уравнений. Если задача сводится к дифференциальному уравнению, методы решения которого известны, то ее следует считать решенной. В этом случае творческая часть решения заканчивается составлением дифференциального уравнения, второй этап представляет собой чисто техническую процедуру.

Таким образом, дифференциальные уравнения имеют исключительно важную роль при решении самых разнообразных задач.