Ответы на экзаменационные вопросы / Ответы на экзаменационные вопросы по дискретной математике
13. Поле классов вычетов. Минимальное поле. Примеры Поле классов вычетов
Теорема. (Следствие из предыдущей.) Кольцо классов вычетов кольца целых чисел по модулю является полем тогда и только тогда, когда — простое число.
Примеры.
-
. Если , то . Если , то , так как . Все ненулевые элементы имеют противоположные, делителей нуля нет, то есть — поле.
-
: — есть делители 0, так как 4 — не простое. , то есть — не поле.
Минимальное поле — поле, не имеющее подполей, отличных от него самого.
Примеры.
-
Поле рациональных чисел — минимально.
-
Поля классов вычетов кольца целых чисел по простым модулям: — минимальные.
Содержание
- По дискретной математике
- 0. Введение. Граф
- Виды графов
- Основная информация
- Матрицы
- 1. Сеть. Потоки в сети. Теорема Форда — Фалкерсона
- 2. Функция. Бинарное отношение. Тотальность, сюръективность, инъективность, биективность. Примеры Множество
- Бинарное отношение
- Свойства бинарных отношений на множестве
- Явное перечисление пар, определяющих бинарное отношение.
- Задание процедуры проверки.
- Задание матрицей смежности.
- Задание графом.
- Задание списком смежностей.
- Функция
- 3. Бинарное отношение. Свойства. Матрица смежности и граф отношения. Отношение эквивалентности. Примеры
- Отношение эквивалентности
- 4. Множество точек любой прямой имеет мощность континуума.
- 4. Алгебраическая структура. Полугруппа, моноид, группа. Примеры
- Полугруппа
- 5. Группа. Абелева группа. Аддитивная группа. Мультипликативная группа. Конечная группа. Таблица Кэли. Циклическая группа. Декартово произведение групп Группа
- Циклическая группа
- Декартово произведение групп
- 6. Группа подстановок. Симметрическая группа . Умножение подстановок. Нейтральный элемент. Обратная подстановка. Число элементов группы Группа подстановок
- 7. Цикл. Теорема о представлении подстановки в виде произведения независимых циклов. Транспозиция. Чётные и нечётные подстановки. Знакопеременная группа Цикл
- Гомоморфизм. Изоморфизм. Теорема Кэли
- 8. Кольцо. Свойства. Коммутативное кольцо. Делители 0. Область целостности. Примеры. Подкольцо. Единица кольца. Поле. Примеры Кольцо
- 9. Идеал. Главный идеал. Теорема об идеалах поля (только и ). Следствие об идеалах в кольце Идеал
- 10. Сравнения. Классы вычетов по модулю (по идеалу ). Свойства. Малая теорема Ферма. Функция Эйлера. Теорема Эйлера (теория чисел) Сравнения
- Свойства сравнений
- 11. Характеристика кольца. Теорема о характеристике кольца без делителей 0. Примеры. Кольцо классов вычетов. Примеры Характеристика кольца
- 12. Простой идеал. Необходимое и достаточное условие того, что идеал кольца — простой Простой идеал
- 13. Поле классов вычетов. Минимальное поле. Примеры Поле классов вычетов
- 14. Евклидово кольцо. Свойства (8 свойств). Примеры Евклидово кольцо
- Свойства евклидовых колец
- В евклидовом кольце все идеалы главные.
- Любое евклидово кольцо содержит 1.
- Если в евклидовом кольце ( делит ), но не делит , то .
- 15. Кольцо многочленов . Условия того, что кольцо — евклидово кольцо Кольцо многочленов
- 16. Приводимые и неприводимые многочлены в кольце . Примеры. Теорема о разложении в на произведение неприводимых множителей. Теорема Безу
- 17. Расширение поля (надполе). Теорема о том, что кольцо классов вычетов по модулю неприводимого многочлена есть поле. Степень расширения. Число элементов этого поля Расширение поля
- 18. Поле Галуа. Примеры полей Галуа как расширения полей. Таблицы сложения и умножения Поле Галуа
- Литература