Свойства преобразований лапласа.

1.Линейность преобразований.

Теорема 1.

Если функция f₁(t) и f₂(t) являются оригиналами и имеют, соответственно, изображения F₁(s) и F₂(s), то преобразование Лапласа от соотношения

L[k₁ f₁(t) k₂ f₂(t)] = k₁F₁(s) k₂ F₂(s) ,

где k₁, k₂- некоторые константы.

Доказательство.

По определению преобразование Лапласа

L[k₁ f₁(t) k₂ f₂(t)] =

k₁F₁(s) k₂ F₂(s).

Замечание.

Из данной теоремы следует, что преобразование Лапласа линейной комбинации оригиналов равно той же линейной комбинации их изображений.

L[ ] = - const.

2.Изображение производной.

Теорема 2.

Если функции f(t) и f'(t) функция f(t) имеет изображение F[s], то преобразование Лапласа производной этой функции равно:

L[f(t)] = s F[s] – f(0⁺)

f(0⁺) =

Теорема утверждает, что дифференцирование в вещественной области в комплексной области соответствует операции умножения изображения на s.

Доказательство.

По определению функция F[s] это:

F[s] =

] =

Покажем, что

при с > α.

Последовательное применение теоремы 2 позволяет распространить ее на производную любого порядка.

] =

Продолжая процесс, можно установить, что для n-ой производной:

3.Изображение интеграла.

Теорема 3.

Если функция f(t)-оригинал и имеет изображение F[s], то интеграл

также является оригиналом, причем

L[ ] = F(s)/s +

L[ ] = F(s)/s + /s.

Теорема утверждает, что интегрирование в вещественной области в комплексной области соответствует делению изображения на s (с точностью до const).

Доказательство. (2-ой части, которая приводит к формуле задания изображения).

По определению

F(s) =

L[

Покажем, что

при .

Теорема доказана.

4.Изменение масштаба.

Теорема 4.

Если функция f(t) оригинал и имеет изображение F(s), и «a» - некоторая положительная константа или положительная переменная независящая от t и s, то преобразование Лапласа:

L =

График функции отличается от графика функции f(t) наличием масштаба по оси t.

Доказательство.

По определению

F(W) =

Положим, имеем

Введем , тогда

L = .

Пример.

В соответствии с теоремой 4.

.

5.Смещение в комплексной области.

Теорема 5.

Если функция f(t) оригинал и имеет изображение F(s), то

Доказательство.

По определению преобразование Лапласа

.

Пример 1.

Найти преобразование Лапласа.

по теореме 5

Пример 2.

Найти обратное преобразование Лапласа.

6. Теорема свертки.

Сверткой функции f₁(t) и f₂(t) называется функция

f(t) =

Операция свертки обладает коммутативностью, т. е.

=

Действительно,

=