12. Простой идеал. Необходимое и достаточное условие того, что идеал кольца — простой Простой идеал

Простой идеал в кольце — идеал, в котором из следует, что либо , либо , либо оба.

Единичный идеал — всегда простой, так как это само кольцо .

В кольце целых чисел идеал прост при простом. Так, например, — прост, так как содержит числа кратные 3. Идеал — не прост, так как — не простое. Например, .

Теорема. Идеал кольца является простым тогда и только тогда, когда кольцо классов вычетов не содержит делителей нуля.

Доказательство.

Кольцо классов вычетов не имеет делителей 0 в том и только в том случае, если из , где , следует, что , либо , либо оба, но тогда: либо , либо , либо оба, что равносильно по определению тому, что идеал — простой. Теорема доказана.