§. Признак Куммера.

Признак Куммера – весьма общий признак. Это скорее не признак, а схема для получения различных, конкретных признаков. Пусть – произвольная последовательность положительных чисел таких, что - расходится. Последовательностью Куммера для ряда назовем последовательность .

Признак Куммера:

Если , то ряд сходится, а если , то ряд - расходится.

Предельная форма признака Куммера: Если , то приряд сходится, а при ряд расходится.

Δ. Пусть   .

Значит последовательность монотонно убывает и ограничена т. е. имеет предел. Тогда ряд сходится, т. к. его частная сумма: имеет предел.

Но из неравенства следует, что ряд сходится. ▲

Теперь: а). Положим . Тогда:  Для сходимости ряда необходимо, чтобы . Получен признак Даламбера.

б). Положим . Тогда  Для сходимости ряда необходимо, чтобы . Получен признак Раабе.

в). Положим . Тогда: = = . Здесь – последовательность Бертрана, и мы получаем

Признак Бертрана : Если (конечный или нет) и , то при b >1 ряд сходится, а при b <1 ряд расходится.

Из признаков Даламбера, Раабе, Бертрана следует признак Гаусса:

Если для ряда верно, что , где λ, μ – постоянные, а – ограниченная величина, то тогда: ряд сходится если λ > 1 или λ = 1, μ > 1,

ряд расходится если λ < 1 или λ=1 μ1.