§ 1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Определённые и неопределённые системы линейных уравнений. Следствия системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Совместность однородной системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

Теорема 1. Свойства элементарных преобразований.

1°. Элементарные преобразования обратимы, причём обратные им преобразования являются преобразованиями того же вида.

2°. Элементарное преобразование третьего вида может быть получено цепочкой преобразований двух первых видов.

3°. Всякая система линейных уравнений, получающаяся из исходной системы линейных уравнений с помощью цепочки элементарных преобразований, равносильна исходной.

Ступенчатые системы линейных уравнений. Треугольные и трапециевидные ступенчатые системы. Противоречивые уравнения. Вид противоречивых уравнений.

Теорема 2. Теорема Гаусса.

Всякая система линейных уравнений может быть приведена к ступенчатому виду или к системе, содержащей противоречивое уравнение с помощью элементарных преобразований и, возможно, перенумерации переменных. В первом случае система совместна и определённа или неопределённа, в зависимости от того, выполняется ли равенство r = n или неравенство r < n, где r – число уравнений ступенчатой системы, n – число переменных. Во втором случае система несовместна.

Главные и свободные неизвестные. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Обозначения при преобразованиях.

Теорема 3. Однородная система линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет ненулевые решения.