2. Дельта функция.

Дельта функция ( ) введена в математику известным физиком Дираком и поэтому часто называется функцией Дирака. Дельта функция не является функцией в обычном смысле слова, а относится к так называемым обобщенным функциям.

Существуют разные способы введения  - функции.

 - функцией будем называть функцию, удовлетворяющую следующему интегральному уравнению: (2)

Проанализируем уравнение (2).

Из (2) следует, что при t<0 (3)

Поскольку соотношение (3) справедливо для любого t<0, то это очевидно возможно лишь при условии (t)=0 при t<0.

Пусть t>0. Обозначим через  малое положительное число. Запишем равенство:

(4)

Из (4) следует равенство:

(5)

Так как равенство (5) справедливо для любого t>, то это возможно только при условии (t)=0 при t>.  - cколь угодно малое положительное число, поэтому справедливо равенство: (t)=0 при t>0.

Для определения значения функции в момент времени t=0 в соответствии с (2) запишем

, где  - малое положительное число.

В соответствии с (2) .

(6)

Равенство (6) справедливо для любого сколь угодно малого положительного . Таким образом, площадь под кривой на бесконечно малом интервале интегрирования равняется положительному числу 1. Это возможно только при условии . Следовательно

(7)

К равенству (7) необходимо добавить соотношение (8),

которое непосредственно следует из равенства (2).

 - функцию обычно задают с помощью соотношений (7) и (8). Продифференцируем формально по t равенство (2).

На этом основании (t) рассматривают как производную единичной ступенчатой функции.

Соотношение между 1(t) и (t) пояснить с помощью следующих предельных переходов. Рассмотрим функцию . Покажем, что . Действительно

р ис. 3 ( )

Найдем производную .

Покажем, что . Действительно

.

, ч. т. д.

На основании , . Заключаем

.

Р ис. 4( )

Запаздывающая  - функция определяется соотношением

Рассмотрим интеграл , полагая, что f(t) непрерывна в точке . Принимая во внимание вид (t), имеем

(9)

.

Свойство, выраженное равенством называют фильтрующим свойством (t).

Введение  - функции позволяет дифференцировать разрывные функции. Рассмотрим функцию , которая имеет в точке разрыв первого рода.

при