Глава 2. Основные алгебраические структуры

Содержание

• Алгебра и теория чисел, Избранные вопросы алгебры
• Пояснительная записка
• Содержание учебной дисциплины
• Тематический план курса «Алгебра и теория чисел»
• Тематический план курса «Избранные вопросы алгебры»
• Перечень практических занятий
• 1 Семестр
• 2 Семестр
• 3 Семестр
• 4 Семестр
• Тематика контрольных работ
• Критерии оценок знаний
• Перечень основных знаний, умений и навыков
• Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов
• Рекомендуемая литература Основная литература
• Дополнительная литература
• Глава 1. Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем
• § 1. Множества, элементы, подмножества
• § 2. Операции над множествами
• § 3. Декартово (прямое) произведение множеств. Бинарные отношения
• § 4. Отношения эквивалентности. Отношения порядка
• § 5. Функции
• § 6. Высказывания и предикаты. Логические операции. Формулы
• § 7. Отношения следования и равносильности
• § 8. Определение системы действительных чисел
• § 9. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции
• § 10. Системы целых и рациональных чисел
• Глава 2. Основные алгебраические структуры
• § 1. Алгебраические операции. Алгебры. Алгебраические системы. Группы
• § 2. Подгруппы
• § 3. Кольца и поля
• § 4. Подкольца и подполя
• Глава 3. Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство
• § 1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
• § 2. Арифметическое n-мерное векторное пространство Pn
• § 3. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов
• § 4. Базис и ранг системы векторов
• § 5. Ранг матрицы
• § 6. Исследование системы линейных уравнений
• § 7. Однородные системы линейных уравнений
• Глава 4. Матрицы и определители
• § 1. Операции над матрицами
• § 2. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы
• § 3. Перестановки и подстановки
• § 4. Определение определителя
• § 5. Свойства определителя
• § 6. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу
• § 7. Формула для обратной матрицы. Теорема Крамера
• § 4. Связь между различными базисами конечномерных векторных пространств. Координаты вектора в разных базисах
• § 5. Подпространства векторного пространства
• § 6. Прямая сумма подпространств
• § 7. Линейные многообразия
• Глава 6. Евклидовы пространства
• § 1. Скалярное произведение. Определение, примеры, простейшие свойства евклидовых пространств. Длина вектора. Угол между векторами
• § 2. Ортогональность. Ортонормированная система векторов. Изоморфизм евклидовых пространств
• § 3. Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Процесс ортогонализации системы векторов
• Глава 7. Линейные отображения и линейные операторы
• § 1. Линейные отображения. Матрица линейного отображения
• § 2. Операции над линейными отображениями
• § 3. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения
• § 4. Линейные операторы
• § 5. Линейные алгебры
• § 6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
• Глава 8. Теория делимости целых чисел
• § 1. Отношение делимости. Деление с остатком
• § 2. Нод чисел. Алгоритм Евклида
• § 3. Взаимно простые числа
• § 4. Нок чисел
• § 5. Простые числа. Основная теорема арифметики
• Глава 9. Теория сравнений целых чисел
• § 1. Числовые сравнения
• § 2. Функция Эйлера.
• § 3. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма
• § 4. Решение сравнений с переменной
• § 5. Решение сравнений первой степени
• § 3. Геометрическое изображение комплексных чисел
• § 4. Тригонометрическая форма комплексного числа
• § 5. Комплексно сопряжённые числа
• § 6. Корни из комплексных чисел
• Глава 11. Кольцо многочленов от одной переменной
• § 1. Определение многочлена
• § 2. Многочленные функции
• § 3. Деление многочлена на двучлен х--a. Схема Горнера
• § 4. Корни многочлена. Число корней многочлена. Интерполяционные многочлены. Функциональное и алгебраическое равенство многочленов
• § 5. Кратные корни многочлена
• § 6. Кольцо многочленов над полем
• § 7. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов над полем
• § 8. Производная многочлена
• § 9. Кольцо многочленов над факториальным кольцом
• Глава 12. Кольцо многочленов от нескольких переменных
• § 1. Кольцо многочленов от n переменных
• § 2. Лексикографическое (алфавитное) упорядочение многочлена от n переменных
• § 3. Симметрические многочлены
• Глава 13. Многочлены над основными числовыми полями
• § 1. Кольцо многочленов над полем комплексных чисел
• § 2. Кольцо многочленов над полем действительных чисел
• § 3. Многочлены над полем рациональных чисел
• Глава 14. Расширения числовых полей. Алгебраические числа
• § 1. Простое расширение р(a) поля р
• § 2. Последовательное (цепное) расширение поля. Расширение поля конечной совокупностью элементов
• § 3. Конечное расширение поля
• § 4. Алгебраические над полем р элементы
• § 5. Простота конечных расширений
• Глава 15. Группы
• § 1. Теорема о факторизации
• § 2. Алгебраические операции. Алгебры. Алгебраические системы. Изоморфизмы. Гомоморфизмы
• § 3. Определения, примеры, простейшие свойства групп
• § 4. Целые степени элемента группы. Порядок элемента группы. Циклические группы
• § 5. Подгруппы
• § 6. Теорема Кэли
• § 7. Разбиение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа
• § 8. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Естественный эпиморфизм
• § 9. Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпиморфизмах
• Глава 16. Кольца и поля
• § 1. Кольца и поля
• § 2. Подкольца и подполя
• § 3. Характеристика кольца с единицей
• § 4. Упорядоченные кольца и поля
• § 5. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел
• § 5. Идеалы коммутативных колец
• § 6. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца
• § 6. Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах
• Глава 17. Элементы теории делимости в целостных кольцах
• § 1. Отношение делимости в целостных кольцах.
• § 2. Разложение на простые множители в кольцах
• § 3. Кольца главных идеалов
• § 4. Евклидовы кольца
• Глава 4. Поле частных целостного кольца
• § 1. Определение и строение поля частных целостного кольца
• § 2. Существование поля частных целостного кольца
• 1. Использование теоремы о числе корней ненулевого многочлена
• 2. Доказательство неравенств
• 3. Дискретность порядка на множестве натуральных и целых чисел