16.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и ее производные, т. е. F(x, y, y’, y’’, , y⁽ⁿ⁾)=0.

Определение. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, имеющая непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения, и обращающая это уравнение в тождество.

Определение. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Основная задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств.

Итак, обыкновенное дифференциальное уравнение п – порядка имеет вид

F (x, y, y, y, , y⁽ⁿ⁾) = 0. (13.1)

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (13.1) называется такое его решение

у = φ (x, C₁,C₂,,C_n),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных C₁,C₂,,C_n, каков порядок этого уравнения.

Если общее решение найдено в неявном виде

Ф (x, у, C₁,C₂,,C_n) = 0,

то оно называется общим интегралом.

Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, при определенных значениях произвольных постоянных, в него входящих, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Определение. Задача о нахождении решения уравнения (13.1) удовлетворяющего условиям

y (x₀) = y₀, y (x₀) = y₀, , y^(n-1)(x₀) = y₀^n-1, (13.2)

называется задачей Коши, условия (13.2)  начальными условиями, а числа x₀, y₀, y₀, , y₀^n-1  начальными данными решения уравнения (13.1).