Соответствия между элементами двух множеств.
__________________________________________________________________
Определение 1. Соответствием Р между элементами множеств X и Y называется подмножество декартова произведения множеств X и Y, (Р XY)
_____________________________________________________________________________________________
Если элементу х из множества Х соответствует элемент у из множества У, то пишут хРу или (х,у)Р. Элемент уУ называется образом элемента х, а элемент хХ называют прообразом элемента уУ
Из определения следует, что соответствия можно задать: перечислением пар или графом (если множества конечные), указанием характеристического свойства элементов этого соответствия, графиком, если множества числовые, и табличным способом.
Пример 1.
Пусть Х = 2,6,8 ; У = 7,5,3,1 хРух < у
Зададим соответствие Р различными способами.
1. Перечислением пар: Р = (2,7),(2,5),(2,3),(6,7)
2. Графом. Граф – это ориентированный чертеж, состоящий из точек и стрелок, где точки изображают элементы множеств, а стрелки соединяют элементы множества Х с соответствующими элементами множества У.
Х У
3. График заданного соответствия выглядит так:
у
7
5
3
1
х
1 2 6 8
4. Задаем данное соответствие с помощью характеристического свойства:
Р = (х,у) х Х; у У, х у
__________________________________________________________________
Определение 2. Соответствие между элементами множеств Х и Y называют взаимно-однозначным, если любому элементу х X ставится в соответствие единственный элемент уY, и, наоборот, любой элемент у Y имеет единственный прообраз хХ в этом соответствии.
_____________________________________________________________________________________________
Пример 2.
Х У
ХУ
Пусть х = {1,2, 3); у = {5, 6, 7}. х р у у= х + 4
__________________________________________________________________
Определение 3. Если между элементами множеств Х и Y можно установить каким-либо образом взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что множества X и Y равномощны и пишут Х~Y. По определению, получим
Y
_____________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Определение 4. Если множество А равномощно множеству натуральных чисел, то его называют счетным. А N, А – счетное множество.
____________________________________________________________________________________
Задача 2.
X Y
Между элементами множеств Х = {1,3,5} и Y = {2,4,6} задано соответствие р – «меньше». Задать соответствие перечислением пар, построить граф соответствия, указать образ 1 Х и прообраз 4 Y.
Решение.
Р={(1, 2); (1, 4); (1, 6); (3, 4); (3, 6); (5,6)}. Образ 1 Х, p(1)= {2, 4, 6}. Прообраз 4 Y = {1,3}.
- Предисловие
- I. Множества и операции над ними
- Понятие множества
- Способы задания множеств. Отношения между множествами
- 3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- 4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- Задача 3.
- Задача 6
- Контрольные вопросы
- Упражнения
- 5. Разбиение множества на классы
- 6. Декартово умножение множеств
- II. Элементы математической логики
- 2. Высказывания с кванторами
- Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- 3. Отношение логического следования и равносильности
- Строение теоремы. Виды теорем
- 6. Математические понятия
- Отношения между понятиями
- Умозаключения
- III. Соответствия и отношения
- Соответствия между элементами двух множеств.
- 2. Функции
- 3. Бинарные отношения
- Алгебраические операции
- IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- Об аксиоматическом построении теории
- Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- Свойства операции сложения
- Свойства операции умножения
- Вычитание и деление
- Правило вычитания числа из суммы
- Правило вычитания суммы из суммы
- Деление суммы на число
- Деление разности на число
- Деление произведения на число
- 4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- 5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- 1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- 2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- Свойства операции сложения
- 3. Умножение целых неотрицательный чисел
- Свойства операции умножения
- 4. Деление