§ 1. Алгебраические операции. Алгебры. Алгебраические системы. Группы

Понятия бинарной и n-местной алгебраической операции. Алгебры. Алгебраические системы.

Некоторые свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, нейтральные элементы, аннулирующие элементы, обратные элементы, обратимость операции; дистрибутивности. Полугруппы. Квазигруппы. Лупы.

Два определения группы.

Теорема 1. Определения группы эквивалентны.

Примеры групп.

1. Группы чисел по сложению: Z, Q, R, C, 2Z.

2. Группы чисел по умножению: Q^*, R^*, R .

3. Группа P(M) всех биективных преобразований некоторого множества М.

Теорема 2. Простейшие свойства групп.

1°. В группе нейтральный элемент единственный.

2°. В группе обратный для данного элемент единственный.

3°. (a^–1)^–1 = a.

4°. (ab)^–1 = b^–1a^–1.

Мультипликативная и аддитивная записи и терминология.

Изоморфизмы групп.

Теорема 3. Свойства изоморфизма групп.

1°. Тождественное отображение группы является изоморфизмом.

2°. Отображение, обратное изоморфизму, является изоморфизмом групп.

3°. Композиция двух изоморфизмов является изоморфизмом.

Отношение изоморфизма. @.

Теорема 4. Отношение изоморфизма в классе групп является отношением эквивалентности.