4.2. Решение типового варианта контрольной работы n 2
Задача 2.1. Найти , если , , .
Решение. а). Для имеем
.
б). Для .
.
в). Для .
.
Задача 2.2. Найти , если
Решение
а).
б). Дифференцируя уравнение для , имеем
,
откуда
.
Дифференцирование последнего соотношения дает
.
Внося выражение для , находим
.
в). Первая производная заданной параметрически функции вычисляется по формуле
.
Здесь
,
откуда
.
Вторую производную вычислим по формуле
.
Задача 2.3. Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Решение. а). Искомый предел является неопределённостью типа
По правилу Лопиталя
.
б). Предел является неопределённостью вида поэтому вначале его надо преобразовать к виду или :
.
К последнему (типа ) можно применять правило Лопиталя:
.
Полученный предел вновь является неопределенностью поэтому повторное применение правила дает
.
в). Предел является неопределенностью вида к которой удобно применять следующий прием. Обозначим
.
Тогда
. (1)
Вычислим вспомогательный предел
.
Искомый предел согласно (1) равен
.
Задача 2.4. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. Областью определения является вся действительная ось . Для отыскания участков монотонности находим
.
Тогда при (интервал возрастания), при (интервал убывания). Точка является стационарной, поскольку При переходе через производная меняет знак с плюса на минус, поэтому при функция имеет локальный максимум.
Для отыскания участков выпуклости используется вторая производная
.
При или будет и функция вогнута; при и функция выпукла.
Вертикальных асимптот функция не имеет. Для отыскания наклонных асимптот вычислим
.
Поэтому при функция имеет асимптоту
Результаты исследования с учетом четности функции показаны на графике
Y
2
1
X
О
- Зачеты и экзамены
- Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Тема 3. Применение дифференциального исчисления для исследования функции и построения графиков
- Тема 4. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- Тема 5. Элементы высшей алгебры
- Тема 6. Неопределенный интеграл
- Тема 7. Определенный интеграл
- Тема 8. Функции нескольких переменных
- Тема 9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ду) и системы дифференциальных уравнений (сду)
- Тема 11. Теория рядов
- Тема 12. Теория вероятностей (тв) и математическая статистика (мс)
- Тема 13. Уравнения математической физики
- Тема 14. Элементы операционного исчисления
- 3.3. Задания контрольных работ
- Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задание 1.1
- Задание 1.2
- Задание 1.3
- Задание 1.4
- Задание 1.5
- Задание 1.6 Решить следующие задачи
- Задание 1.7 Решить следующие задачи
- Задание 1.8
- 4. Примеры решения задач контрольных работ
- 4.1. Решение типового варианта контрольной работы №1
- 4.2. Решение типового варианта контрольной работы n 2
- 4.3. Решение типового варианта контрольной работы n 3
- 4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4