4.2. Решение типового варианта контрольной работы n 2

Задача 2.1. Найти , если , , .

Решение. а). Для имеем

б). Для .

в). Для .

Задача 2.2. Найти , если

Решение

а).

б). Дифференцируя уравнение для , имеем

откуда

Дифференцирование последнего соотношения дает

Внося выражение для , находим

в). Первая производная заданной параметрически функции вычисляется по формуле

Здесь

откуда

Вторую производную вычислим по формуле

Задача 2.3. Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. а). Искомый предел является неопределённостью типа

По правилу Лопиталя

б). Предел является неопределённостью вида поэтому вначале его надо преобразовать к виду или :

К последнему (типа ) можно применять правило Лопиталя:

Полученный предел вновь является неопределенностью поэтому повторное применение правила дает

в). Предел является неопределенностью вида к которой удобно применять следующий прием. Обозначим

Тогда

. (1)

Вычислим вспомогательный предел

Искомый предел согласно (1) равен

Задача 2.4. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Областью определения является вся действительная ось . Для отыскания участков монотонности находим

Тогда при (интервал возрастания), при (интервал убывания). Точка является стационарной, поскольку При переходе через производная меняет знак с плюса на минус, поэтому при функция имеет локальный максимум.

Для отыскания участков выпуклости используется вторая производная

При или будет и функция вогнута; при и функция выпукла.

Вертикальных асимптот функция не имеет. Для отыскания наклонных асимптот вычислим

Поэтому при функция имеет асимптоту

Результаты исследования с учетом четности функции показаны на графике

Содержание