4.1. Решение типового варианта контрольной работы №1

Задача 1.1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу приведем к трапециевидной форме

~ ~ .

Следовательно, (числу неизвестных системы). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а). По формулам Крамера: где

Находим .

б). С помощью обратной матрицы где - обратная матрица к , - столбец правых частей.

; ; ;

; ; .

Решение системы

т.е. .

в). Наша система эквивалентна

(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц и ).

Тогда

Задача 1.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

С помощью элементарных преобразований матрицу приведем к трапециевидной форме

~ .

Следовательно, 2<3 и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна

Откуда .

Полагая (произвольной постоянной), имеем

, .

Задача 1.3. По координатам точек , , найти:

а). Модуль вектора

;

б). Скалярное произведение векторов и .

в). Проекцию вектора на вектор .

г). Координаты точки , делящей отрезок в отношении 1:3; . Следовательно:

Задача 1.4. Даны векторы Необходимо:

а). Найти модуль векторного произведения .

= ;

б). Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и .

Условие коллинеарности двух векторов

Т.к. то вектора и неколлинеарны.

Условие ортогональности двух векторов

Т.к. то вектора неортогональны.

в). Вычислить смешанное произведение трех векторов

г). Проверить, будут ли компланарны три вектора

Вектора компланарны, если

Из пункта в) следовательно, эти векторы некомпланарны.

Задача 1.5. Даны четыре точки

Составить уравнения:

а). Плоскости

Уравнение плоскости по трем точкам имеет вид

, откуда .

б). Прямой

Уравнение прямой по двум точкам

откуда

в). Прямой , перпендикулярной к плоскости .

Из уравнения плоскости следует, что вектор || откуда уравнение имеет вид

г). Прямой , параллельной Значит, вектор и уравнение этой прямой имеет вид

д). Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

Вектор перпендикулярен искомой плоскости.

Значит, - ее уравнение, которое приводится к виду

е). Вычислить - угла между прямой и плоскостью .

; ;

ж). Косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью .

Вектор а вектор . Поэтому

Задача 1.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой, проведенной через точки и

Найти вектор , перпендикулярный искомой плоскости. Вектор и следовательно, в качестве вектора можно взять

; ;

Тогда уравнение искомой плоскости которое приводится к виду

Задача 1.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и перпендикулярно первой прямой. Найдем точку :

Вектор параллелен искомой прямой. Поэтому ее уравнение запишем как оно приводится к виду

Задача 1.8. Определить вид поверхности и построить ее.

а) . Приведем уравнение к каноническому виду

Получим уравнение однополостного гиперболоида, ось которого совпадает с полуоси эллипса в плоскости Y0Z равны и Построим поверхность.

б)

Приведем уравнение к каноническому виду .

Это уравнение конуса второго порядка, ось которого совпадает с осью 0Z.

Содержание