4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4

Задача 4.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл от функции вида

Решение. Поскольку

искомый интеграл равен

Задача 4.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции

Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени знаменателя, следует выполнить деление:

.

Правильную дробь разложим на простейшие дроби

.

Методом неопределенных коэффициентов находим

,

откуда

.

Решая эту систему уравнений, имеем

.

Искомый интеграл равен

Задача 4.3. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .

Решение. Выполним подстановку Разрешая уравнение относительно , находим: .

Тогда искомый интеграл запишется:

Разлагая подынтегральное выражениe на простейшие дроби

и раскрывая скобки в равенстве

,

приходим к соотношению

Система уравнений относительно запишется

Решая ее методом Гаусса, находим

Искомый интеграл равен:

.

Задача 4.4. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .

Решение. Универсальной является подстановка для которой нетрудно проверить равенства

Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональной дроби

. (7)

Однако в ряде случаев более удобны подстановки:

(1) Тогда ;

(2) Тогда ;

(3) Тогда .

Подстановки 1,2 приводят к подынтегральным выражениям, содержащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, более простому, чем (7), и легко приводящемуся к табличному:

.

Задача 4.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Решение. а). Рассмотрим вспомогательную функцию на отрезке Площадь вычисляется по формуле

Исследуем Очевидно, что Поскольку

,

нетрудно проверить, что достигает в точке локального минимума, причем Кроме того, Поэтому наименьшее значение на [0,2], равное , положительно, и, значит, Имеем

Вычисляя интеграл по частям, находим

Поэтому

б). Здесь на Имеем , и, следовательно, меняет знак. Найдем интервалы, где она положительна или отрицательна. Отыскивая корни уравнения находим значение поэтому при и при Искомая площадь равна:

Вычисляем неопределенный интеграл

Тогда

Задача 4.6. Вычислить площадь, ограниченную кривой в полярной системе координат.

Решение. Кривая определена для тех значений из интервала (или ), при которых выполняется условие Неравенство имеет решения или

. (8)

Области (8) принадлежат интервалу при значениях т.е.

Площадь вычисляется по формуле

Вычисляя неопределенный интеграл

находим

.

Задача 4.7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Согласно определению несобственного интеграла с бесконечным пределом имеем

.

Поскольку корнями трехчлена в знаменателе будут то

.

Методом неопределенных коэффициентов находим , откуда Поэтому

Значение несобственного интеграла равно

.

Задача 4.8. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность

D:

Решение. Вид области показан на рисунке.

Y

8

y=8x²

X

0 D 1

y= -x

-2

Масса пластины запишется с помощью двойного интеграла

.

Сведем двойной интеграл к повторному интегралу

Задача 4.9. Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V, ограниченной указанными поверхностями: V: y=8-2x², z=0, y=0, x=0, z=2x+y.

Решение. Область V изображена на рисунке, где цифрами 1, 2 обозначены параболический цилиндр y=8-2x² и плоскость z=2x+y соответственно; остальные уравнения отвечают координатным плоскостям.

y

8 - B

V 2

1 4 -

D

S

0 C

Объем области посредством тройного интеграла запишется

Приведем интеграл к повторному

.

Через обозначены аппликаты точек (см. рис.), вычисленные из уравнений плоскости и плоскости , т.е. , . Через обозначена область плоскости , на которую проецируется область . Поэтому при сведении двойного интеграла по области к повторному ординаты точек вычисляются из уравнения и уравнения линии, являющейся пересечением цилиндрической поверхности и плоскости т.е. уравнения Искомый объем равен

Задача 4.10. Вычислить: а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой , с плотностью с помощью криволинейного интеграла первого рода; b) работу силы вдоль траектории L от т. A до т. B с помощью криволинейного интеграла второго рода.

- четверть окружности между А(3,-3), В(5,-1). (2) - дуга параболы от А(0,1) до В(1,-1).

Решение. а). Заряд q проводника, имеющего плотность заряда вычисляется по формуле

.

(1). Окружность удобно задать в параметрическом виде:

.

Участку L соответствуют значения параметра где

откуда Криволинейный интеграл выражается через определенный

причем верхний знак выбирается при и нижний - при

В данной задаче

(2). Для дуги параболы L удобнее использовать частный случай формулы при

Для имеем

Используем подстановку

Тогда

б). Работа силового поля с компонентами вдоль траектории АВ запишется

(1). Для четверти окружности приведем интеграл к определенному по формуле

(2). Для дуги параболы

Задача 4.11. Вычислить расход жидкости с полем скоростей , протекающей за единицу времени через часть плоскости лежащей в первом октанте. Единичная нормаль направлена вне начала координат.

Решение. Искомый расход дан формулой

.

Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты

.

Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл

,

где уравнение поверхности записано в явном виде:

.

Область является проекцией на плоскость и ограничена линиями

.

Внося в двойной интеграл заданные функции, находим

.

Последний запишется через повторный интеграл

С о д е р ж а н и е

Учебное издание

Высшая математика

Программа, методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников инженерных и

инженерно-экономических специальностей

приборостроительного факультета

В 2-х частях

Ч а с т ь I

Составители: ИБРАГИМОВ Владислав Ахмедович

СТРЕЛЬЦОВ Сергей Викторович

МЕЛЕШКО Алексей Николаевич

ВИШНЕВСКАЯ Ольга Геннадьевна

Редактор Т.Н.Микулик

П одписано в печать 21.01.2000.

Формат 60х84 1/16. Бумага тип. № 2. Офсет. печать.

Усл.печ.л. 5,9. Уч.-изд.л. 4,5. Тираж 200. Заказ 544.

И здатель и полиграфическое исполнение:

Белорусская государственная политехническая академия.

Лицензия ЛВ № 155 от 30.01.98. 220027, Минск, пр. Ф.Скорины, 65.

39