§ 7. Отношения следования и равносильности

Отношения следования и равносильности. Þ. Û.

Теорема 1. Первые свойства отношений следования и равносильности.

1°. Отношение следования рефлексивно и транзитивно.

2°. Отношение равносильности является отношением эквивалентности.

3°. j Þ y тогда и только тогда, когда формула j ® y является общезначимой (тавтологией в случае высказываний).

4°. j Û y тогда и только тогда, когда формула j « y является общезначимой (тавтологией в случае высказываний).

Теорема 2. Основные равносильности логики высказываний.

1°. Û j.

2°. jÙj Û j.

3°. jÙyÛyÙj.

4°. (jÙy)Ùc Û jÙ(yÙc).

5°. jÙ(yÚc) Û (jÙy)Ú(jÙc).

6°. Û .

7°. jÙ(jÚy) Û j.

8°. jÙ Û 0.

9°. 0Ùj Û 0, 1Ùj Û j.

2¢. jÚj Û j.

3¢. jÚyÛyÚj.

4¢. (jÚy)Úc Û jÚ(yÚc).

5¢. jÚ(yÙc) Û (jÚy)Ù(jÚc).

6¢. Û .

7¢. jÚ(jÙy) Û j.

8¢. jÚ Û 1.

9¢. 1Új Û 1, 0Új Û j.

10°. j ® y Û Úy.

11°. Û .

12°. j«y Û (j®y)Ù(y®j).

13°. j ® y Û Û jÙ ® 0.

Теорема 3. Основные следствия и равносильности логики предикатов.

1°. ("a)j Þ j, j Þ ($a)j.

2°. Û ("a) .

3°. Û ($a) .

4°. ("a)("b)j Û ("b)("a)j.

5°. ($a)($b)j Û ($b)($a)j.

6°. ($a)("b)j Þ ("b)($a)j.

($a)jÚ("a)y

7°. ("a)jÚ("a)yÞ ("a)(jÚy) ($a)(jÚy)Û ($a)jÚ($a)y.

("a)jÚ($a)y

($a)jÙ("a)y

8°. ("a)(jÙy) Û ("a)jÙ("a)y ($a)(jÙy)Þ($a)jÙ($a)y.

("a)jÙ($a)y

("a)j®("a)y

9°.($a)j®("a)yÞ("a)(j®y) ("a)j®($a)yÛ($a)(j®y).

($a)j®($a)y

("a)j«("a)y ($a)j«("a)y

10°. ("a)(j«y) ($a)(j«y).

($a)j«($a)y ("a)j«($a)y

Прямое, обратное, противоположное, обратное противоположному (= противоположное обратному) утверждения. Необходимое и достаточное условия.