§. Критерий Коши сходимости ряда.

Критерий Коши для сходимости ряда следует из критерия Коши для сходимости последовательности частных сумм :

• 

• .

Если ряд сходится то, из критерия Коши при m = n + 1 следует, что т.е. необходимое условие сходимости ряда:

• Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при n  .

Из критерия Коши также следует:

• Сходимость ряда не изменится, если в нем изменить, добавить, или изъять любое конечное количество слагаемых. ()

• Сходимость ряда не изменится, если изъять конечное или нет число нулевых элементов.

Для ряда величина называется частной (или частичной) суммой, а величина называется остатком после n-го члена.

Для сходящегося ряда остаток после n-го члена необходимо стремится к нулю.

Примеры:

а). . При

=

= .

т.е. несмотря на то, что общий член ряда стремится к нулю, ряд расходится. Стремление общего члена ряда к нулю это только необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное.

б). ; рассмотрим

Т.е. для ряда не выполнен критерий Коши. Ряд расходится. Этот ряд называется гармоническим.

в). ; . При .

Общий член ряда не стремится к нулю. Не выполнено необходимое условие сходимости. Ряд расходится.

г). ; .

Общий член ряда не стремится к 0. Ряд расходится.

д). ; не стремится к 0. Ряд расходится.

е). ; Ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии.

. – получена формула для нахождения частичной суммы ряда. существует, если |q| < 1. Тогда .

Ряд сходится.