§ 1. Кольцо многочленов от n переменных

A[x₁ x₂, ..., x_n–1, x_n] = A[x₁ x₂, ..., x_n–1][x_n].

Теорема 1. Наследование свойств кольца.

Если кольцо А коммутативно или ассоциативно, или содержит единицу, или является целостным кольцом, или факториальное кольцо, то этим же свойством обладает кольцо многочленов A[x₁ x₂, ..., x_n–1, x_n].

Степень многочлена относительно переменной x_i, cтепень многочлена относительно совокупности переменных. deg f, deg f. Однородные многочлены (формы) степени n.

Теорема 2. Свойства степени.

1°. deg (f ± g) £ max {deg f , deg g}; deg (f ± g) £ max {deg f , deg g}.

2°. deg (f × g) £ deg f + deg g; deg (f × g) £ deg f + deg g.

3°. Если кольцо А целостное, то

deg (f × g) = deg f + deg g; deg (f × g) = deg f + deg g.

Многочленная функция : Аⁿ ® А, соответствующая многочлену f = f (x₁ x₂, ..., x_n).

Теорема 3. Свойства кольца многочленных функций.

1°. Множество всех многочленных функций является подкольцом в кольце всех функций, отображающих Аⁿ в А.

2°. Соответствие F: f является эпиморфизмом кольца многочленов

А[x₁ x₂, ..., x_n] на кольцо многочленных функций .

3°. Если кольцо А бесконечное, то F является изоморфизмом.