§ 3. Многочлены над полем рациональных чисел

Сведение вопросов отыскания рациональных корней и разложения на множители многочленов над Q к многочленам над Z.

Теорема 1. Если f(x) = a_nxⁿ+a_n–1x ^n–1+ ... +a₁x+a₀ÎZ[x] и рациональное число a = , где p и q – взаимно простые числа, является корнем f , то a₀ p, a_n q.

Теорема 2. Если f(x) ÎZ[x] и рациональное число a = , где p и q – взаимно простые числа, является корнем f , то ("mÎZ)( ).

Теорема 3. Критерий неприводимости Эйзенштейна.

Если f(x) = a_nxⁿ+a_n–1x ^n–1+ ... +a₁x+a₀ÎZ[x] и существует такое простое число p, что a_n не делится на p, все остальные коэффициенты делятся на p и a₀ не делится на p², то многочлен f неприводим над Z, а, следовательно, и над Q.