13.5. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

I. Уравнение вида у = f (x) не содержит явно у и у .

Вводим замену у  = р(х)  у = р(х) и подставим в уравнение: р = f (x)  уравнение первого порядка. Его решение

В более общем случае у ^(п) = f (x) решение получается путем п – кратного интегрирования функции f (x), т. е.

II. Уравнение вида у  = f (x, y ) не содержит явно у.

Полагая у  = р (х), получим у  = р(х) и, подставив в уравнение, получим уравнение первого порядка

р = f (x, p)

с неизвестной функцией р. Решая его найдем функцию р (х) = φ (х, С₁).

Так как р (х) = у , то у  = φ (х, С₁), отсюда интегрируя еще раз получим решение исходного уравнения

III. Уравнение вида у  = f (y, y ) не содержащим явно х. Вводится новая функция у  = р (у (х)). Тогда

Подставляя в уравнение, получим уравнение первого порядка относительно функции р (как функции от у):

р р = f (y, p).

Решая его, найдем р = φ (у, С₁), т. к. р = у , то у  = φ (у, С), отсюда

.

В итоге, общий интеграл исходного уравнения имеет вид