Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ
В предыдущих разделах введено понятие определенного интеграла от ограниченной функции по ограниченному промежутку. В настоящем разделе обобщается понятие определенного интеграла на случаи, когда
*. если функция неограниченна на промежутке
*. если промежуток интегрирования – неограничен;
А. 1). Пусть функция определена в промежуткеи интегрируема в любой конечной его части, так что интегралимеет смысл при любом.
.
Def Конечный или бесконечный предел называется несобственным интегралом от функции на промежутке, и обозначается.
Аналогично определяется и несобственный интеграл .
2). Def Пусть задан конечный промежуток и функциянеограниченна в окрестности точкипромежутка интегрирования ( в частности, еслипри). Конечный или бесконечный предел называется несобственным интегралом от неограниченной функции по промежутку и обозначается.
Аналогично определяется и несобственный интеграл .
Если рассмотренные пределы существуют, то говорят, что интегрируема в несобственном смысле, соответствующий интеграл называется несобственным и говорят, что он сходится к соответствующему пределу. Если предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Б. Понятие несобственного интеграла может быть расширено и на случай, когда функция неограниченна в окрестности точекпромежутка интегрирования и, кроме того, промежуток интегрирования неограничен. Как определить такой несобственный интеграл, для простоты, покажем на конкретном примере:
.
Все интегралы в правой части являются несобственными в смысле данных выше определений. Если все эти интегралы сходятся (и только в этом случае), то несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
В. Если функция интегрируема в собственном смысле по замкнутому промежутку, то определенный интеграл по замкнутому промежутку и несобственный интеграл по полуоткрытому промежутку совпадает.
и , причем в последнем равенстве в левой части стоит несобственный интеграл, а в правой части – интеграл Римана. В дальнейшем такое замечание, для сходящихся несобственных интегралов, становится излишним именно в связи с данным утверждением.
- Раздел 2. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах.
- §. Вычисление площадей плоских фигур.
- §. Вычисление длин дуг плоских кривых.
- 1). .
- §. Криволинейные интегралы I-го рода.
- Вычисление объёмов.
- §. Вычисление моментов и координат центра масс.
- §. Теоремы Гульдина.
- Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ
- §. Основные свойства несобственного интеграла.
- §. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
- §. Абсолютная сходимость.
- §. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.
- §. Условная сходимость.
- §. ПризнакИ Абеля и Дирихле (для функций вида ).
- §. Поведение функции, стоящей под знаком сходящегося интеграла, на бесконечности.
- §. Интегралы Фрулани.
- §. Главное значение интеграла по Коши.
- Раздел 4. Численное интегрирование §. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)
- §. Остаточный член формулы прямоугольников.
- §. Остаточные члены формул трапеций и парабол.
- §. Пример применения.
- Раздел 5. Ряды. §. Определения.
- §. Критерий Коши сходимости ряда.
- §. Абсолютная сходимость.
- §. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- §. Интегральный признак Коши – Маклорена.
- §. Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.
- §. Признак дАламбера и его предельная форма.
- §. Примеры
- §. Признак РаАбе.
- §. Признак Куммера.
- §. Признаки сходимости знакопеременных рядов. А). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
- Б). Признаки Абеля и Дирихле.
- §. Несколько замечаний о перестановочности членов сходящихся – расходящихся рядов.
- §. Функциональные ряды.