Очень важным является следствие из теоремы Безу: число ‘с’ тогда и только тогда будет корнем многочлена (уравнения ), если делится на разность .
При делении многочлена на линейный двучлен можно использовать метод, более простой, чем общий алгоритм деления многочленов «уголком». Этот метод называется схемой Горнера и заключается в следующем. Пусть в соотношении (2.4): - участвующие многочлены имеют вид: ; ; ; ; а неполное частное , то есть имеем:
(2.6) .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в этом соотношении, получим:
(2.7)
Таким образом, начальные коэффициенты искомого и исходного многочленов равны , все последующие коэффициенты искомого многочлена получаются умножением предыдущего коэффициента на ‘c’ и прибавлением соответствующего коэффициента , то есть ; остаток получается по такому же правилу. Эти вычисления удобно производить, заполняя приведенную ниже таблицу, которая и называется схемой Горнера.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В верхней строке таблицы записываем известные коэффициенты многочлена f(x); ниже пишем получаемые по формулам (2.7) соответствующие коэффициенты искомого многочлена и остаток от деления; слева сбоку размещаем число ‘c’.
Пример 2.2. Разделить f(x) на разность x-3, если
Решение. Составляем схему Горнера:
| 2 | -1 | -3 | 0 | 1 | -3 |
| 2 | 5 | 12 | 36 | 109 | 324 |
Ответ: ; .
Замечание: остаток ‘r’ равен значению искомого многочлена f(x) при x=c, то есть r=f(с), а потому схема Горнера может применяться и для быстрого нахождения частных значений многочлена f(x) при различных ‘c’.
Упражнения 2.2. Разделить многочлен f(x) на разность x-c, если:
а).
б).
- Раздаточный материал №5 Уравнения высших степеней Содержание
- Имеющие алгоритмы решения
- §2. Рациональные корни целочисленных уравнений
- 2.1.Деление многочленов
- 2.2. Теорема Безу и схема Горнера
- Очень важным является следствие из теоремы Безу: число ‘с’ тогда и только тогда будет корнем многочлена (уравнения ), если делится на разность .
- 2.3. Основная теорема алгебры и ее следствия
- 2.4. Нахождение целых корней
- 2.5. Нахождение дробных корней
- §3. Общий подход к решению уравнений высших степеней
- §4.Точное определение числа действительных корней в уравнении, их отделение и оценка
- Ответы к упражнениям
- Литература
- Приложение Алгоритмы решений уравнений третьей и четвертой степеней (формулы Кардано и Феррари)