Элементарные алгебраические структуры.

Определение. Множество с заданной на нём алгебраической операцией называется алгебраической структурой и обозначается .

Определение. Множество , с заданной на нем бинарной алгебраической операции , называется группоидом.

Группоид – это элементарная алгебраическая структура, для которой выполняется единственное свойство операции  - замкнутость множества относительно этой операции.

Определение. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называетсяполугруппой, если операция  на ассоциативна:

.

Определение. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называетсямоноидом (полугруппой с единицей), если выполняются следующие условия:

• операция  на – ассоциативна;

• существует единичный элемент , такой, что.

2. Группы

Определение. Моноид , все элементы которого обратимы, называетсягруппой.

Определение. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией *называется группой, если выполняются следующие аксиомы группы:

1. (ассоциативность);

2. (существование единичного элемента);

3. (существование обратного элемента).

Определение. Группа с коммутативной операцией называется коммутативной илиабелевой группой.

Определение. Подмножество полугруппыназываетсяподполугруппой, если .

В этом случае говорят, что подмножество замкнуто относительно операции полугруппы .

Определение. Если – моноид, а подмножествоне только замкнуто относительно операции, но и содержит единичный элемент, то называетсяподмоноидом.

Определение. Моноид , все элементы которого обратимы, называетсягруппой.