Тематический план курса «Алгебра и теория чисел»

№

Наименование разделов и тем

Всего часов

В том числе аудиторных

СР

Всего

Лек-ции

Пр. зан.

Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем

Множества и операции над ними. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и отношение порядка Отображения, композиция отображений, обратимые отображения. Высказывания и предикаты. Отношения следования и равносильности. Системы действительных, рациональных, целых и натуральных чисел.

36

20

10

10

16

Основные алгебраические структуры

Алгебраические операции. Группа, кольцо, поле. Простейшие свойства групп, колец, полей. Подгруппа. Подкольцо. Подполе. Изоморфизм алгебраических структур.

22

12

6

6

10

Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Свойства решений однородной системы уравнений.

36

20

10

10

16

Матрицы и определители

Операции над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы. Перестановки и подстановки. Определение определителя. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Теорема о ранге матрицы.

36

20

10

10

16

Векторные пространства

Определение, примеры, простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность конечномерного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса. Подпространство. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств.

Связь между координатами векторов относительно различных базисов. Изоморфизм векторных пространств.

22

12

6

6

10

Евклидовы пространства

Скалярное произведение, евклидовы и унитарные пространства. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис, его существование. Ортогональное дополнение к подпространству, свойства ортогонального дополнения. Изоморфизм евклидовых пространств.

22

12

6

6

10

Линейные отображения и линейные операторы

Понятия линейного отображения и оператора. Операции над линейными отображениями. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения. Обратимые операторы. Изоморфизм алгебры операторов и полной матричной алгебры. Собственные числа и собственные векторы оператора, связь с матричными понятиями. Характеристический многочлен оператора. Теорема Гамильтона-Кэли для операторов.

22

12

6

6

10

Теория делимости целых чисел

Отношение делимости. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Систематическая запись натуральных чисел. НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа. Простые числа и основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение.

32

20

12

8

12

Теория сравнений

Числовые сравнения и их свойства. Классы вычетов. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Сравнений первой степени. Диофантовы уравнения. Признаки делимости.

24

14

8

6

10

Комплексные числа

Определение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корней из комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа.

26

14

8

6

12

Многочлены от одной переменной

Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов над полем. Приводимые и неприводимые многочлены. Каноническое разложение многочлена над полем. Формальная производная. Формула Тейлора.

Кольцо многочленов над факториальным кольцом.

28

16

10

6

12

Многочлены от нескольких переменных

Понятие многочлена от нескольких переменных. Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Симметрические многочлены. Основная теорема теории симметрических многочленов.

19

9

6

3

10

Многочлены над числовыми полями

Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение неприводимых множителей.

Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей.

Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна.

15

7

4

3

8

Расширения полей

Простое алгебраическое расширение поля и его строение. Конечное расширение поля. Алгебраическое расширение поля. Составное алгебраическое расширение поля. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость.

18

10

6

4

8

ИТОГО

358

198

108

90

160