§ 2. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы

Матрица, обратная для данной.

Не всякая матрица имеет обратную.

Теорема 1. Простейшие свойства обратной матрицы.

1°. Всякая матрица может иметь не более одной обратной.

2°. E^–1 = E.

3°. (A^–1)^–1 = A.

4°. (AB)^–1 = B^–1A^–1.

Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.

Теорема 2. Критерий обратимости матрицы.

Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Лемма 1. Всякое строчечное (столбцовое) элементарное преобразование матрицы можно реализовать путём умножения этой матрицы слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.

Лемма 2. Для того чтобы матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её можно было привести к единичной матрице с помощью только строчечных элементарных преобразований.

Лемма 3. Если строки (столбцы) матрицы A (B) линейно зависимы и C = AB, то точно такая же линейная зависимость выполняется для строк (столбцов) матрицы С.

Практический способ вычисления обратной матрицы:

A|E ... E|A^–1.

Матричные уравнения.

Запись СЛУ в виде одного матричного уравнения специального вида. Терема Крамера в матричной форме.