Полугруппы, группы, решетки

Алгебра с одной бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Эта операция обычно называется умножением и обозначается или ab. Такая запись называется мультипликативной. В частности аа обозначается как , ааа как и т. д. В общем случае . Полугруппа называется коммутативной, если операция умножения коммутативна. Если полугруппа содержит такой элемент е, что для любого а выполняется , то такой элемент называется единицей. Полугруппа с единицей называется моноидом.

Пример 1.

Множество действительных чисел с операцией умножения является полугруппой с единицей. Здесь е = 1.

Утверждение 1.

Единица в полугруппе всегда единственна.

Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента а существует обратный элемент , удовлетворяющий условию .

Утверждение 2.

Для каждого элемента а в группе существует единственный обратный элемент .

Число элементов группы называется порядком группы. Группа называется абелевой, если операция группы коммутативна. Группа, все элементы которой является степенями одного и того же элемента а, называется циклической.

Утверждение 3.

Циклическая группа всегда абелева.

Пример 2.

Множество целых чисел с операцией сложения является циклической.

Пример 3.

Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой группой. Единицей по сложению является . Для каждого числа существует обратный (здесь: противоположный) – z < 0. И наоборот. Для числа 0 противоположным является число 0.

Множество, на котором кроме операций заданы отношения называется алгебраической системой. Таким образом, алгебра является частным случаем алгебраической системы.

Рассмотрим частный случай алгебраической системы – решетку.

Пусть дано частично-упорядоченное множество М. Отношение порядка в общем случае будем обозначать . Верхней гранью элементов а и b из М называется элемент , такой что и . Нижней гранью элементов а и b из М называется элемент , такой что и . В общем случае для некоторых элементов а и b нижняя грань может не существовать или не быть единственной.

Решеткой называется частично упорядоченной множество, в котором для любых двух элементов а и b существует и единственна наибольшая нижняя грань, обозначаемая и наименьшая верхняя грань, обозначаемая . Таким образом решетка – это алгебраическая система вида с одним бинарным отношением и одной бинарной операцией.

Пример 4.

Любое полностью упорядоченное множество (например, множество целых чисел) можно превратить в решетку, определив для любых а и b из М ;  .