logo
Пособие по Основам ДМ 4

Свойства операций над событиями:

1. ; 2. ;

  1. ; 4. A + B = B + A, AB = BA ;

  1. A(BC) = (AB)C, 6. A + (B + C) = (A + B) + C ;

  2. A(B + C) = AB + AC ; 7. .

Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому стохастическому эксперименту, и пусть F  некоторая система случайных событий.

Система событий F называется алгеброй событий, если выполняются условия:

1)  ;

2) если ;

3) если А и В и .

Отсюда следует, что применяя любые из введенных выше операций к произвольной системе событий из F, получим событие, так же принадлежащее F. Таким образом, алгеброй событий называется класс событий, замкнутый относительно операций объединения, пересечения и дополнения.

Вероятность события численно характеризует степень объективной возможности этого события.

Пусть  пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и в выделена система событий F, являющаяся алгеброй событий.

Определение: Если каждому событию поставлено в соответствие число р(А) и верны свойства:

1) ; 2) ;

3) если А и В несовместны , то р(А+В) = р(А) + р(В),

тогда число р(А) называется вероятностью случайного события А.

Свойства вероятности:

1. ;

2. Если события A и В  несовместны, то р(А+В) = р(А) + р(В);

3. .

Пространство элементарных событий с выделенной в нем алгеброй событий F и определенной на измеримом пространстве ( , F) вероятностной мерой р(А), , называется вероятностным пространством и обозначается ( , F, p(A)).

Классическое определение вероятности

Если множество элементарных событий состоит из n равновозможных элементарных событий, то вероятность р(А) события А равна числу m элементарных событий, входящих в А, деленному на число всех элементарных событий, т. е. .

Условной вероятностью называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило.

Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, определяется формулой

, где .

События А и В – называются независимыми, если при происхождении одного из них не изменяется вероятность происхождения другого. Для независимых событий выполняется равенство .

Очевидно, что для независимых событий справедливо:

.

Смысл определения независимости событий заключается в том, что если произошло одно из независимых событий, то это никак не влияет на вероятность появления другого события.

События называются независимыми в совокупности, если для любых k из них выполняется соотношение:

.

Если это соотношение выполняется при k = 2, то события называются попарно независимыми.

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

p(А+В) = p(А) + p(В) – p(АВ).

Если события А и В несовместны, то p(А+В) = p(А) + p(В).

Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило:

.

Если события А и В независимы, то .

Пример 1. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут две “решки”.

Пространство элементарных событий данного стохастического эксперимента: = {ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР} состоит из 8 равновозможных исходов ( ). Число благоприятных элементарных исходов для события A = «выпали две “решки”» = {ОРР, РОР, РРО} равно 3 ( ). Следовательно, .

Пример 2. В студенческой группе из 15 девушек и 10 юношей по жребию разыгрывается билет в театр. Какова вероятность, что билет достанется девушке? Событию A = «билет достался девушке» благоприятствует 15 элементарных событий ( ) из 25 равновозможных ( ).

Следовательно, .

Пример 3. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

Рассмотрим событие А = «студент знает ответы на все три заданных вопроса». Оно состоит из событий: «студент знает ответ на 1-ый вопрос» ( ) И «студент знает ответ на 2-ой вопрос» ( ) И «студент знает ответ на 3-ий вопрос» ( ). . Если студент ответил на первый вопрос, то всего осталось 19 вопросов, которые он знает из 24 оставшихся, следовательно, вероятность второго события, при условии, что первое произошло равна . Аналогично .

Таким образом, по теореме умножения вероятностей

.

(Или по классическому определению вероятности: , где число благоприятных событий число – сочетаний из 20 знакомых вопросов по три; число всевозможных событий – число сочетаний из всех 25 вопросов по три.)

Пример 4. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает для первого и второго датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того, что при пожаре сработает: а) хотя бы один датчик; б) только один датчик.

Обозначим: – вероятность срабатывания 1-го датчика, тогда вероятность его несрабатывания равна ; – вероятность срабатывания 2-го датчика, тогда вероятность его несрабатывания равна .

Вероятность того, что при возгорании сработает хотя бы один датчик (событие А) можно вычислить по теореме сложения вероятностей: или через противоположное событие (оба датчика не сработали): .

Вероятность того, что при возгорании сработает только один датчик (событие В) равна .