1.7. Операции и алгебры

N-арная операция на множестве М – это функция типа

,

где n – арность операции. Операция замкнута относительно множества М по определению, т. е. операция над элементами множества М, и результат тоже элемент М.

Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций , т. е. система

.

М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.

Тип алгебры – вектор арностей операций.

Сигнатура – совокупность операций .

Множество называется замкнутым относительно n-арной операции на М, если

,

т. е. если значения на аргументе из принадлежат .

Если замкнуто относительно всех операций , алгебры М, то система

называется подалгеброй алгебры А (при этом рассматриваются как операции на ).

Примеры:

1.  Алгебра – называется полем действительных чисел.

Обе операции бинарные, поэтому тип этой алгебры (2,2). Сигнатура .

Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.

2. Пусть . Определим на операции:  – «сложение по модулю р», – «умножение по модулю р», следующим образом:

и ,

где с и d – остатки от деления на р чисел а + b и а  b соответственно.

Пусть, например, р = 7, тогда и

, , .

Часто обозначают: a + b = с (mod p) и a  b = d (mod p).

Конечным полем характеристики р называется алгебра , если р – простое число.

3. Пусть задано множество U.

Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается B(U)).

Булева алгебра множеств над U или алгебра Кантора – алгебра B(U), ). Ее тип (2,2,1), сигнатура ( ).

Элементами основного множества булевой алгебры являются множества (подмножества U).

Для любого B( ), ) – является подалгеброй  В.

Например, если , то основное множество алгебры В содержит 16 элементов; алгебра B( ), ) – подалгебра В. Ее несущее множество содержит четыре элемента.

4. Множество F одноместных функций на R, т. е. функции вместе с операцией дифференцирования является алгеброй. Элементы несущего множества – функции типа , единственная операция этой алгебры – операция дифференцирования.

Множество элементарных функций замкнуто относительно дифференцирования, поскольку произведение элементарных функций элементарно, следовательно, образуют подалгебру данной алгебры.