1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось

Вектор – это упорядоченный набор элементов (“кортеж”). Его элементы зазываются координатами или компонентами вектора.

Длина (размерность) вектора – число координат вектора.

В отличие от элементов множества, его координаты могут совпадать. Обозначение вектора: в круглых скобках, координаты – через запятую (0, 5, 4, 5, 0, 1). Иногда скобки и даже запятые опускаются.

Векторы длины 2 называют упорядоченными парами; длины 3 – тройками; и т.д., длины n – n-ками.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину, и соответствующие координаты равны, т. е. , если и , , …, .

Прямым произведением множеств А и В (обозначается А В) называется множество всех (упорядоченных) пар (a, b) таких, что _и . В частности, если А = В, то обе координаты принадлежат А (обозначение ).

Прямое произведение n множеств (обозначается ) называется множеством всех векторов , длины n таких, что _{, , ...,} .

.

Пусть А – конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.). Такие множества обычно называют алфавитом.

Слова длины n в алфавите А – это элементы множества . Множество всех слов в алфавите А – это множество

Здесь слово определено как вектор. При написании слова не принято пользоваться разделителями: скобками, запятыми; они могут оказаться символами самого алфавита. Поэтому слово в алфавите обозначается как конечная последовательность символов из алфавита А.

Примеры:

1) Десятичное число – слово в алфавите цифр {0, 1, 2, 3, ... , 9}.

2) Текст, отпечатанный на машинке – слово в алфавите, определяемом клавиатурой этой машинки.

Теорема (о мощности прямого произведения множеств).

Пусть   конечные множества и _{, , ... ,} . Тогда мощность множества равна произведению мощностей множеств :

.

Следствие: _.

Эта теорема и ее следствие лежат в основе очень многих комбинаторных фактов.

Проекцией вектора длины n на i-ю ось называется его i-я координата (обозначение: ) .

Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины k (обозначение: ).

Пусть V – множество векторов одинаковой длины.

Проекцией множества векторов V на i-ось называется множество проекций всех векторов из V на i-ось: (обозначение: .

Проекция множества векторов V на оси с номерами :

.

В частности, если , то ₌ .

В общем случае  вовсе не обязательно прямое произведение, оно может быть и подмножеством.

Примеры:

1) Проекция точки плоскости на 1-ю ось – абсцисса, на 2-ю ось – ордината.

2) Дано множество векторов ;

,

,

,

, ,

.

3) . Чему равна ? Ее найти нельзя, так как заданное множество V- множество векторов разной длины, в отношении которых никаких определений не было сделано.