Свойства операции сложения
( а, b N0) а + b = b + а (коммутативность).
( а, b, c N0) (а + b) + c = a + (b +c) = а + b + с (ассоциативность).
( а, b, c N0)(а + b = а + с b = с) (а + b = с + b а = с) (сократимость).
( а, b, c N)(а + b < а + с b < с) (а + b < с + b а < с) (монотонность).
( а, b N)а + b а a + b b (сумма двух любых натуральных чисел не равна ни одному из слагаемых).
( а, b N)а + b > а a + b > b (сумма двух любых натуральных чисел больше любого из слагаемых)
Пусть а = п(А); b = п(В).
______________________________________________________________________
Определение 7. Разностью чисел а и b называется количество элементов разности множеств А и В при условии В А.
___________________________________________________________________________________________________
a – b = п (А\В), если В А или а – b = п(В'А).
А
______________________________________________________________________
Определение 8. Разностью чисел а и b называют число с, если оно существует, такое, что а = b + с, а – в = с а = в + с
___________________________________________________________________________________________________
Эти определения равносильны. Действительно, пусть а = п(А); b = п(В); В А, с = п(В'А). В'А = А\В, если В А, А = В В'А, причем В В'А =, п(А) = п(В В'А) = п(В) + п(В'А), т.е. а = b + с.
______________________________________________________________________
Определение 9. Операция по нахождению разности целых неотрицательных чисел называется операцией вычитания.
___________________________________________________________________________________________________
Разность чисел а и b существует, когда а b.
Задача 3.
Доказать свойство ассоциативности операции сложения.
Дать теоретико-множественное истолкование правила вычитания числа из суммы.
Решение. 1. Докажем, что ( а, b, c N)(а + b) + с = a + (b + с).
Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства. Пусть
а = п(А); b = п(В); с = п(С); тогда а + b = п(А В), если А В = , (а + b) + с = п((А В) С), если (А В) С = ,
b + с = п(В C), если В С = , а +(b + с) = п(А (В С)), если А (В С) = .
Используя диаграммы Эйлера-Венна, множестваА, В и С можно изобразить так:
( A,B, С) (A B) C = А (В С) п((АB) С) = п(А (В С)) (а +b) + с = а + (b + с)
(равные множества имеют и равное число элементов).
2. Рассмотрим один из способов вычитания, например (а + b)–с =(а – с)+b, если а>с. Пусть а = п(А); b = п(В); с = п(С). Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства. Для левой части равенства получим:
а + b = п(А В), если А B = ,
(а + b) – с = п((А В)\С), если С А В.
Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А и В можно изобразить так:
Множество С может быть подмножеством А или В. Рассмотрим случай, когда С А.
В правой части равенства получим:
а – с = п(А\C, т.к. С А, (а – с) + b = п((А\С) В), если (А\С) B = .
В этом случае множества изображаются так:
В
В левой части равенства круг для множества С расположен внутри круга для множества А.
Можно доказать, что (А В) \ С = (А \ С) В. Так как равные множества имеют равное число элементов, получаем:
п((А В)\С) = п((А \С) В) => (а + b) – с = (а – с) + b.
Задача 4.
Решить задачу и обосновать выбор действий.
Оля собрала грибы: два белых и пять подосиновиков. Сколько грибов собрала Оля?
У Тани пять шариков, два из них она отдала Лене. Сколько шариков осталось у Тани?
Решение.
Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.
1. Пусть А – множество белых грибов, которые собрала Оля, по условию задачи п(А) = 2;
В – множество подосиновиков, которые собрала Оля, по условию задачи п(В)=5;
С – множество всех грибов, которые собрала Оля. Число элементов множества С неизвестно, его надо найти, т.е. п(С) – ?
C
A B
Множество С является объединением множеств А и В; С = А В, причем А B = .
n (C) = п(А В) = п(А) + п(В) = 2 + 5 = 7.
Оля собрала 7 грибов.
Эта задача на уяснение конкретного смысла сложения натуральных чисел.
2. Пусть А – множество шариков, которые были у Тани, по условию задачи п(А) = 5;
В – множество шариков, которые Таня отдала Лене, по условию задачи п(В)=2;
С – множество шариков, которые остались у Тани, численность множества С неизвестна, ее надо найти, т.е. п(С) – ?
Выразим множество С через множества А и В.
А
С В
А = В С, В С =
С – разность множеств А и В, причем В А. С = А\В, тогда n(C) = п(А \ В) = п(А) – п(В) = 5 – 2 = 3, т.е. n(С) = 3.
У Тани осталось три шарика.
Эта задача на уяснение смысла действия вычитания натуральных чисел.
Задача 5
Решить и обосновать выбор действий.
У Кати было 3 шара, а у Тани на 1 шар больше. Сколько шаров было у Тани?
В парке 7 берез, а елей на 2 меньше. Сколько елей в парке?
На верхней полке 9 книг, а на нижней 5. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?
Решение.
Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.
1. Пусть А – множество шаров у Кати, по условию задачи п(А)=3; В – множество шаров у Тани, число их неизвестно, т.е. п(В) – ? У Тани на 1 шар больше, чем у Кати, это значит, что у Тани шаров столько же, сколько у Кати, и еще один. Введем в рассмотрение вспомогательные множества: В1 – множество шаров у Тани, которых было столько же, сколько у Кати, т.е. В1 ~ А и тогда n(B1) = п(А)= 3; В2 – множество шаров у Тани, которых у Кати нет. По условию задачи п(В2) = 1, т.к. у Тани на 1 шар больше.
Изобразим схематически множества и выразим множество В через вспомогательные множества.
А–
В–
В1 В2
В – объединение множеств B1 и В2, причем В1 В2 = , В = В1 и В2, тогда п(В) = п(В1) + п(В2) = 3 + 1 = 4.
У Тани было 4 шара.
Эта задача на смысл отношения «больше на...».
2. Пусть А – множество берез в парке, число их равно 7, т.е. п(А) = 7;
В – множество елей в парке, число их надо найти, т.е. п(В) – ?
Елей на три меньше, чем берез, т.е. елей столько же, сколько берез, но без трех. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
B1 – множество елей в парке, которых было бы столько же, сколько берез, т.е. В1 ~ А, и тогда n(B1) = п(А) = 7.
В2 – множество елей, которых в парке нет, т.к. их на 3 меньше, чем берез то п(В2) = 3, причем В2 B2.
Изобразим схематически множества и выразим множество В через вспомогательные множества.
А –
В1 –
В В2
В – разность множеств В1 и В2, причем В2 В1, т.е. В = В1\ В2, тогда п(В) = п(В1\В2) = п(В1) – п(В2) = 7 – 3 = 4.
В парке 4 ели.
Эта задача на смысл отношения «меньше на...».
3. Пусть А – множество книг на верхней полке, число их равно 9, т.е. п(А) = 9;
В – множество книг на нижней полке, число их равно 5, т.е. п(В) = 5;
Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
А1 – множество книг на верхней полке, в котором их столько же, сколько на нижней, т.е. A1 ~ B, и тогда п(А1) = п(В)= 5;
А2 – множество книг на верхней полке, которых нет в А1. Число элементов множества А2 надо найти, т.е. п(А2) – ?
Изобразим схематически множества и выразим множество А2 через другие множества.
А –
А1 А2
В–
А2 – разность множеств А и А1, причем А1 А;
А2 = А\А1, тогда п(А2) = п(А\А1) = п(А) – п(А1) = 9 – 5 = 4.
На верхней полке на четыре книги больше, чем на нижней.
Задача 6.
Решить и объяснить выбор действий.
В парке 9 кленов. Их на три больше, чем лип. Сколько лип в парке?
На столе 6 чашек, их на 2 меньше, чем ложек. Сколько ложек на столе?
Решение.
1. Первый способ. Пусть А – множество лип в парке, число их надо найти, т.е. п(А) – ? В – множество кленов в парке, число кленов равно 9, т.е. п(В) = 9. Кленов на три больше, чем лип, это значит, что кленов столько же, сколько лип, и еще три. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
B1 – множество кленов, которых столько же сколько было бы лип, тогда В1 ~ А и n (B1) = п(А);
B2 – множество кленов из множества В, которые не вошли в В1, т.е. В2 В, В1 В2 = и В =В1 В2, причем п(В2) = 3.
Надо найти п(А); п(А) = п(В1). Изобразим множества схематически и выразим множество В1 через другие множества.
А –
В–
В1 В2
В1 – разность множеств В и В2, В1 = В \ В2, причем В2 В, тогда п(В1) = п(В\В2) = п(В) - п(В2) = 9 – 3 = 6, п(В1) = 6, тогда п(А) = 6. В парке 6 лип.
Второй способ. Пусть A – множество лип в парке, число их надо найти, т.е. п(А) – ? В – множество кленов в парке, число их равно 9, т.е. п(В) = 9. Так как кленов на три больше, чем лип, то лип на 3 меньше, чем кленов. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
А1 – множество лип, в котором лип было бы столько же, сколько кленов, т.е. А1~В и п(А1) = п(В) = 9;
А2 – множество лип из А1, которые не вошли в А, т.е. п(А2) = 3, А2 А1, А2А= , тогда A1 = А А2.
Изобразим схематически множества и выразим множество А через другие.
А1 –
А А2
В –
А – разность множеств А1 и А2, А=А1\A2, причем, А2 А1, тогда п(А)= п(А1\А2) = п(А2) –п(А2)= 9 – 3 = 6.
В парке 6 лип.
2. Первый способ. Пусть А – множество чашек на столе, число чашек 6, т.е. п(А) = 6; В – множество ложек на столе, число ложек надо найти, т.е. п(В) – ? Чашек на 2 меньше, чем ложек, это значит чашек столько же, сколько ложек, но без 2. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
А1 – множество чашек, в котором чашек было бы столько же, сколько ложек, тогда А1 ~ В и n(A1) = п(В);
А2 – множество чашек, которые не вошли во множество А, т.е. п(А2) = 2; А2 А1, А А2 = , причем A1 =А А2.
Надо найти п(В); п(В) = п(А1). Изобразим множества схематически и выразим множество А1 через другие.
А1 –
А А2
В –
А1 – объединение множеств А и А2, причем А А2 =. А1=А А2, тогда п(А1) = п(А А2) = п(А) + п(А2)= 6 + 2 = 8. т.к. п(В) = п(А1), то восемь ложек на столе.
Второй способ. Пусть А – множество чашек на столе, число чашек 6, т.е. п(А) = 6; В – множество ложек на столе, число ложек надо найти, т.е. п(В) – ? Чашек на две меньше, чем ложек, тогда ложек на две больше, чем чашек. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
В1 – множество ложек, в котором ложек столько же, сколько чашек, тогда В1~А и п(В1)= п(А) = 6;
В2 – множество ложек из В, которые не вошли в В1, т.е. п(В2) = 2, причем В1 В2=, В = В1 и В2.
Изобразим схематически множества и выразим множество В через другие.
А –
В –
В1 В2
В – объединение множеств B1 и В2, В = В1 В2, причем В1 B2 = , тогда п(В) = n(B1 B2) = n(B1) + п(В2) = 6 + 2= 8. На столе 8 ложек.
Задача 7.
Найти значение выражения и объяснить, какие свойства были при этом использованы:
53 + 119 + 47 + 31.
Первый способ.
Можно находить значение числового выражения в порядке выполнения действий, т.е.
53 + 119=172;
172 + 47 = 219;
219 + 31=250.
Второй способ.
Можно найти значение этого выражения, используя свойства операции сложения.
Контрольные вопросы
Дайте теоретико-множественное истолкование суммы двух целых неотрицательных чисел. Объясните, почему сумму чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а не множеств вообще.
Запишите свойства операции сложения.
Дайте определение разности через дополнение подмножества и через сумму, докажите их равнозначность.
Запишите, используя символы, правила:
а) вычитания числа из суммы;
б) вычитания суммы из числа;
в) вычитания суммы из суммы.
Приведите примеры на применение этих правил.
Запишите, используя символы, правила:
а) прибавления числа к сумме;
б) прибавления суммы к числу;
в) прибавления суммы к сумме.
Приведите примеры на применение этих правил.
Упражнения
362. Докажите свойства операций сложения:
а) коммутативность,
б) ассоциативность.
Дайте теоретико-множественное истолкование свойств операции сложения:
а) сократимость,
б) монотонность,
в) 5-го и 6-го свойств.
Дайте теоретико-множественное истолкование нижеуказанных правил. Приведите примеры заданий из учебников математики начальных классов, при выполнении которых можно пользоваться этими правилами:
а) правило вычитания числа из суммы;
б) правило вычитания суммы из числа;
в) правило вычитания суммы из суммы;
г) правило сложения суммы с суммой.
Запишите нижеуказанные правила. Дайте теоретическое обоснование им, каждый шаг обоснуйте:
а) правило сложения числа с суммой;
б) правило сложения суммы с числом. Решить и объяснить выбор действий.
а) У Саши было 6 значков, а у Лены 4 значка. Сколько значков у Саши и у Лены вместе?
б) У Саши было 6 значков, 2 значка он отдал Лене. Сколько значков осталось у Саши?
а) Столяр сделал 8 книжных полок, а кухонных полок на 3 меньше. Сколько кухонных полок сделал столяр? Сколько всего полок сделал столяр?
б) На елке горели 10 зеленых лампочек, а красных на 4 меньше. Сколько красных лампочек на елке?
а) На елку повесили 7 красных шаров, а синих на три больше. Сколько всего шаров повесили на елку?
б) Сережа вырезал 5 красных флажков, а зеленых на 4 больше. Сколько всего флажков вырезал Сережа?
а) Для детского сада купили 10 кукол, 8 заводных машин, а мячей столько, сколько кукол и машин вместе. Сколько купили мячей? б) В одной вазе 5 апельсинов, в другой 7 апельсинов, а в третьей столько, сколько в первой и во второй вместе. Сколько апельсинов в третьей вазе?
а) У пристани стояли 3 теплохода и 9 катеров. На сколько меньше было теплоходов, чем катеров?
б) В одном ряду 5 кустов смородины, а в другом 11 кустов. На сколько кустов смородины больше во втором ряду, чем в первом?
а) В школьном саду 7 яблонь, это на 3 больше, чем груш. Сколько всего яблонь и груш в саду?
б) В букете было 4 красных пиона, их на 1 больше, чем розовых. Сколько всего пионов было в букете?
а) Дети играли в слова. Катя написала 8 слов, это на 5 меньше, чем написала Ира. Сколько всего слов написали девочки?
б) В саду посадили саженцы. Вишен 4, их на три меньше, чем слив. Сколько всего саженцев посадили в саду?
а) У Жени было 20 открыток. 4 открытки она отдала для школьной стенгазеты, 3 открытки подарила подруге. Сколько открыток осталось у Жени?
б) В трамвае ехали 42 человека. На остановке вышли 8 человек, а вошли 12 человек. Сколько человек стало в трамвае?
а) Нина нашла 32 желудя, Катя на 6 желудей больше, чем Нина, а Оля на 9 желудей меньше, чем Катя. Сколько желудей нашла Оля?
б) Юннаты на первую грядку посадили 40 кустиков клубники, да вторую на 6 кустиков меньше, чем на первую, а на третью на 10 кустиков больше, чем на вторую. Сколько кустиков клубники юннаты высадили на третью грядку?
Вычислить рациональным способом, объяснить вычисления.
а) 209 + 66 + 91+34 + 72;
б) 57 + 68 + 89 + 32+11+43;
в) 38+ 89+ 32+11;
г) (251 + 37) + (63+ 49);
д) (368 + 81) + (32 + 119);
е)179 – (39 +120);
ж)157 – (29 + 27);
з) (173 + 34) – (53+ 24);
и) 203 + 69 + 97 + 31+ 93;
к) 157 +178 + 74 + 43 +22.
- Предисловие
- I. Множества и операции над ними
- Понятие множества
- Способы задания множеств. Отношения между множествами
- 3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- 4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- Задача 3.
- Задача 6
- Контрольные вопросы
- Упражнения
- 5. Разбиение множества на классы
- 6. Декартово умножение множеств
- II. Элементы математической логики
- 2. Высказывания с кванторами
- Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- 3. Отношение логического следования и равносильности
- Строение теоремы. Виды теорем
- 6. Математические понятия
- Отношения между понятиями
- Умозаключения
- III. Соответствия и отношения
- Соответствия между элементами двух множеств.
- 2. Функции
- 3. Бинарные отношения
- Алгебраические операции
- IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- Об аксиоматическом построении теории
- Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- Свойства операции сложения
- Свойства операции умножения
- Вычитание и деление
- Правило вычитания числа из суммы
- Правило вычитания суммы из суммы
- Деление суммы на число
- Деление разности на число
- Деление произведения на число
- 4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- 5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- 1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- 2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- Свойства операции сложения
- 3. Умножение целых неотрицательный чисел
- Свойства операции умножения
- 4. Деление