Свойства z – преобразования.

1. Линейность преобразования.

некоторые числа.

2. Z – преобразование смещенной функции.

Теорема 2.

Если решетчатая функция f(nT) является оригиналом и Z – преобразование этой функции F(z), то

а) Z – преобразование функции Z[f(n+m)]

б)

Доказательство.

По определению

Положим n + m = r, тогда

.

Пункт б доказывается аналогично, причем при

3. Смещение в области изображений.

Теорема 3.

Если функция f(nT) является оригиналом и Z – преобразование этой функции F(z), то

.

Доказательство.

По определению

.

4. Z – изображение конечной разности.

Теорема 4.

Если функция f(nT) является оригиналом и Z – преобразование этой функции F(z), то

Доказательство.

По определению

В соответствии с теоремами 1 и 2

5. Преобразование конечной суммы.

Теорема 5.

Если функция f(n) является оригиналом и Z – преобразование этой функции F(z), то

.

Выше было показано, что конечная разность

, (*)

т. е. конечная сумма является первообразной функции f(n).

Применим к равенству (*) Z – преобразование

(**)

по теореме 4

(***)

Принимая во внимание равенство (**), из (***) получим

.

6. Начальное значение решетчатой функции.

Теорема 6.

Если функция f(n) является оригиналом и Z – преобразование этой функции F(z), то

Доказательство.

По определению

Перейдя к пределу, получим

7. Предельное значение решетчатой функции.

Теорема 7.

Если функция f(n) является оригиналом и Z – преобразование этой функции F(z) и если (z - 1)F(z) – аналитическая функция в области , то

Доказательство.

Рассмотрим сумму

(*)

по теореме 4

или

Перейдем к пределу при (предел существует, т. к. по условию теоремы функция (z - 1)F(z) – аналитическая функция в области ).

Принимая во внимание (*), найдем

8. Преобразование свертки функции.

Сверткой функции и называется функция , равная

.

Имеет место коммутативность

.

Теорема 8.

Если функции и являются оригиналами и Z – преобразование этих функций, соответственно, F₁(z) и F₂(z), то