§ 7. Однородные системы линейных уравнений

Теорема 1. Критерий существования ненулевых решений.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Теорема 2. Свойства решений однородной системы линейных уравнений.

1°. Сумма любых двух решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой однородной системы линейных уравнений.

2°. Произведение решения однородной системы линейных уравнений на скаляр также является решением этой однородной системы линейных уравнений.

3°. Любая линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой однородной системы линейных уравнений.

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

Теорема 3. Если однородная система линейных уравнений с n неизвестными имеет ранг r, то любая фундаментальная система решений этой системы состоит из n–r векторов.

План доказательства

1. Решение методом Гаусса.

2. Построение решения a₁, a₂, ..., a_n–r.

3. Доказательство линейной независимости этой системы векторов.

4. Выражение произвольного решения b через a₁, a₂, ..., a_n–r: построение вектора b₁ – линейной комбинации системы a₁, a₂, ..., a_n–r, доказательство равенства b–b₁ = q.