1.2 Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

Рассмотрим некоторые физические задачи, решения которых приводят к уравнениям в частных производных.

Задача 1 (о поперечных колебаниях струны).

Пусть струна длиной l натянута с силой Т₀ и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются некоторые отклонения и скорости [12, c.145].

Поставим задачу об определении малых поперечных колебаний точек струны при t>0, если концы струны:

а) жестко закреплены,

б) свободны,

в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Сопротивлением среды и силой тяжести пренебрегаем.

Решение. Пусть ось ох совпадает с первоначальным положением струны в положении равновесия

Выделим участок струны от А до В и спроектируем все действующие на этот участок силы на ось u. Согласно принципу Даламбера сумма проекций должна равняться нулю.

так как мы рассматриваем малые колебания и - малой величиной пренебрегаем.

Это значит, что удлинение участка струны не происходит и, следовательно, по закону Гука величина натяжения не зависит ни от времени, ни от х.

Проекция силы натяжения

Пусть - непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на АВ действует вдоль оси u сила

Для нахождения силы инерции воспользуемся выражением где Тогда

Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.

Если с=const и то

(2)

Кроме того, искомая функция u(х, у) должна удовлетворять начальным условиям:

- начальное положение струны

- начальный импульс.

Краевые условия:

а) струна закреплена на концах

,

б) в случае свободных концов должно быть

в) - законы движения концов струны.

Задача 2. Уравнение неразрывности. Задача обтекания.

Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которой отсутствуют силы вязкости [18, c.196].

Пусть - вектор скорости движения жидкости, -ее плотность, - интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем щ, ограниченный поверхностью S. Изменение массы жидкости внутри щ в единицу времени равно

с другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q₁ жидкости за счет источников

минус количество Q₂, вытекающей через S

- формула Остроградского-Гаусса,

где - внешняя нормаль к S, таким образом

В силу произвольности щ

(3)

Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.

Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Щ с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость на бесконечности при отсутствии источников. В этом случае и Поэтому: при условии

Пусть u -потенциал скоростей, т.е. тогда

и

,

поэтому

(4)

Задача 3. О распространении тепла

Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящего за время ?t через малую площадку ?S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой

где - нормаль к ?S, направленная в сторону передачи тепла, k(x, u) - коэффициент внутренней теплопроводности, u(x, t) - температура тела в точке в момент времени t. Предполагается, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е. k(x, u) не зависит от направления площадки [18, c.165].

Выделим внутри тела объем щ, ограниченный S. Согласно закону Фурье, количество тепла, втекающее через S за промежуток [t₁, t₂], равно

Если - плотность тепловых источников, то количество тепла, образованного за их счет в щ за указанный промежуток времени, равно

Общее количество тепла притекающего в щ за время от t₁ до t₂ можно посчитать и за счет приращения температуры

где и - теплоемкость и плотность вещества. Тогда

В силу произвольности щ и промежутка времени t₁, t₂, следует равенство

,(5)

называемое уравнением теплопроводности. Если (не зависит от температуры), то уравнение (5) становится линейным. Если же тело однородно и уравнение (5) примет вид [18, c.196]:

(6)

Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса распространения тепла необходимо кроме уравнения, задать начальное распределение температуры

- начальное условие и температурный режим на границе

- граничное условие, (возможны и другие варианты задания граничных условий).