1.1.1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкие приложения в математической физике, гидродинамике, акустике и других областях знаний. В большинстве своем такие уравнения в явном виде не решаются. Поэтому широкое распространение получили методы приближенного их решения, в частности, метод сеток.

Мы уделим основное внимание вопросу решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Построение различных схем метода сеток в случае уравнений в частных производных зависит от типа уравнений и вида граничных условий. Сделаем несколько замечаний о классификации линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

1

(1.1)

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

2. Уравнение теплопроводности (диффузии)

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, диффузии жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение параболического типа.

3.Уравнение Лапласа

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.

Приступим теперь к изучению конечно-разностных методов решения уравнений в частных производных.

Как правило, аналитические методы решения уравнений в частных производных связаны с разделением переменных (метод Фурье). Использование этого метода встречает большие трудности, если область независимых переменных, где находится решение, отличается от простейших (прямоугольник, круг). Вторым препятствием для применения метода Фурье является зависимость коэффициентов линейного уравнения от времени и пространственных переменных. Например, зависимость коэффициента а = a(t, x) в волновом уравнении с функцией a(t, x) достаточно общего вида уже не позволит разделить переменные.

Отмеченные ограничения применения аналитических методов привели, особенно с развитием вычислительной техники, к широкому распространению численных методов решения уравнений с частными производными. Опыт решения многих сложных задач науки и техники численными методами подтверждает их эффективность.

Уравнения (1.1), (1.2), у которых одна из независимых переменных t является временем, называются нестационарными. Уравнение (1.3) для функции и(х,у), зависящей только от пространственных координат х и у, является стационарным.