Дифференциальные уравнения в частных производных

курсовая работа

2.2 Решение уравнений в частных производных методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона

Определение. Функция , имеющая непрерывные частные второго порядка в области и удовлетворяющая внутри уравнению Лапласа, называется гармонической функцией [15, c.78]:

.

Простейшим примером гармонической функции двух переменных является функция вида , где (основное решение уравнения Лапласа).

Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Если , то задача Дирихле удовлетворяет уравнению Пуассона Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная запись ее от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекают из следующих гармонических функций [14, c.40].

Свойство 1 (принцип максимума). Гармоническая в ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области , не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимум ее значений на границе непрерывные заданные значения [14, c.45].

Доказательство. Пусть - максимум значений на границе . Допустим, что функция в некоторой точке внутри принимает значение , причем .

Составим вспомогательную функцию

,

где - диаметр области . Очевидно, имеем

,

причем при выполняется неравенство

.

Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке , причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции [13, c.28]:

.

Из соотношения

вытекает, что по крайней мере одна из производных или положительна внутри . Поэтому функция ни в какой конкретной точке области не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, .

Аналогично доказывается, что , где - наименьшее значение функции на границе .

Следствие. Пусть функция - гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замкнутой области . В таком случае справедливо равенство , где на , на .

Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области функция, отличная от константы, не принимает внутри наибольшего и наименьшего значений.

Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области , принимающих, на границе одни и те же значения [14, c.202].

Доказательство. Допустим, что две функции и гармонические в области , совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию

.

Очевидно, что на - гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри значений больше или меньше нуля, следовательно, внутри и .

Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области , то оно единственно [14, c.158].

Можно доказать, что если область выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее действительно имеет решение (теорем Неймана).

Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных.

Доказательство. Допустим, что и - решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение и .

Пусть всюду на выполнено неравенство

,

где - произвольное малое положительное число.

Рассмотрим гармоническую функцию

.

На границе эта функция принимает значение

.

Так как на , то по свойству I имеем при , т.е. или .

Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности выполнено при .

Пусть на плоскости дана область с кусочно-гладкой границей . В области построим квадратную сетку с шагом :

, (1)

Мы предполагаем, что сетка состоит из внутренних узлов и граничных узлов первого рода. Граничные узлы сетки образуют ее границу. Грубо говоря, граница представляет собой линейный ряд точек , аппроксимирующий криво-криволинейную границу области с точностью до .

Представим себе частицу , которая совершает равномерное случайное блуждание по узлам сетки (1). А именно, находясь во внутреннем узле сетки , эта частица за один переход с одной и той же вероятностью, равной 1/4, может переместиться в один из четырех соседних узлов: или в (шаг влево), или в (шаг вправо), или в (шаг вниз), или в (шаг вверх), причем каждый такой единичный переход совершенно случаен и не зависит от положения частицы и ее прошлой истории. Будем считать, что блуждание частицы заканчивается, как только эта частица попадет на границу ; в этом смысле граница представляет собой «поглощающий экран». Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, блуждание точки через конечное число шагов заканчивается на границе [14, c.198].

Если частица начала свое блуждание с фиксированной внутренней точки сетки , то конечная совокупность последовательных положений этой частицы: где и , называется траекторией частицы (с шагами) или историей блуждания.

Равномерное случайное блуждание частицы на плоскости можно организовать с помощью равномерно распределенной последовательности одноразрядных случайных чисел, принимающих значения. Для этого, например, достаточно производить розыгрыш, т.е. случайную выборку из чисел ; причем числа 8 и 9 переигрываются.

Случайные числа берутся из готовых таблиц или вырабатываются электронной машиной. Последний способ при работе на счетной машине предпочтительнее, так как он позволяет не загружать сильно память машины [1, c.28].

Пусть в точках границы Г области G определена некоторая функция . Перенесем эти значения на границу сетки . Например, для каждого граничного узла определим ближайшую по горизонтали (или вертикали) точку и положим .

Для краткости введем обозначение .

Пусть - вероятность того, что траектория частицы, вышедшей из узла сетки , закончится в граничном узле . Так как блуждание точки неизбежно заканчивается на границе в первой же точке выхода ее на границу, то

, (2)

где суммирование распространяется на все точки границы , причем

(3)

где - граничный узел.

Составим сумму

, (4)

где точка пробегает всю границу . Если функцию рассматривать как случайную величину, принимающую значения на границе , то сумма (4) представляет собой математическое ожидание (среднее значение) функции на границе для траекторий, начинающихся в точке («премия за выход на границу» из начальной точки ). Частица, начавшая свое случайное блуждание из внутреннего узла , после первого шага с вероятностью, равной 1/4, попадает в один из четырех соседних узлов. Поэтому случайные блуждания, начинающиеся в узле , в зависимости от вида траекторий распадаются на четыре категории новых случайных блужданий [8, c.98]:

По формуле полной вероятности имеем

(5)

Отсюда, умножая обе части равенства (5) на граничные значения и суммируя по всем возможным значениям и , на основании формулы (4) получим

. (6)

Кроме того, в силу формулы (3) имеем

, (7)

если точка .

Рассмотрим теперь задачу Дирихле об отыскании функции , гармонической области и принимающей на ее границе заданные непрерывные значения . Согласно методу сеток эта задача сводится к нахождению значений искомой функции во внутренних узлах некоторой сетки при условии, что значения в граничных узлах известны и равны . Неизвестные определяются из системы линейных уравнений

(8)

Сравнивая формулы (8) с формулами (6), (7), мы усматриваем, что они совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, искомые неизвестные можно рассматривать как математические ожидания . Величины допускают экспериментальное определение. Рассмотрим достаточно большое число равномерных случайных блужданий частицы по узлам сетки , исходящих из фиксированного узла и заканчивающихся на границе . Пусть соответствующие точки выхода частицы на границу . Заменяя математическое ожидание эмпирическим математическим ожиданием, будем иметь

. (9)

Формула (9) дает статистическую оценку величины и может быть применена для приближенного решения задачи Дирихле. Метод решения задач, основанный на использовании случайных величин, получил общее название метода Монте-Карло [10, c.104].

Заметим, что с помощью формулы (9) можно непосредственно найти приближенное значение решения задачи Дирихле в единственной фиксированной точке сетки , не зная решения задачи для остальных точек сетки. Этим обстоятельством метод Монте-Карло для задачи Дирихле резко отличается от обычных стандартных способов решения этой задачи.

Интересно отметить, что вероятность , в силу формулы (4), представляет собой аналог функции Грина для задачи Дирихле в области. Эта величина может быть найдена экспериментально на основании формулы (9), если задать следующие граничные условия [14, c.55]:

.

Построив такую функцию Грина, мы получаем возможность, применяя формулу (9), просто

находить приближенное решение задачи Дирихле для области данной границей при любых граничных значениях .

Недостатком рассмотренного варианта метода Монте-Карло для задачи Дирихле является слабая сходимость по вероятности при эмпирического математического ожидания

к математическому ожиданию . Чтобы устранить это неблагоприятное обстоятельство, используют различные модификации случайных блужданий. Кроме того, при решении задачи полезно учитывать также, что блуждание частицы , начинающееся в точке автоматически является случайным блужданием частицы, начинающимся в любой промежуточной точке траектории этой частицы [4, c.129].

Укажем другой метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, не связанный с разностными уравнениями. Пусть задана ограниченная связная область и точка . Определим случайную траекторию следующим образом: положим ; далее, если точка известна, то построим окружность произвольного радиуса , расположенную внутри , и на этой окружности выберем случайную точку .

Таким образом, , где , и угол равномерно распределен в интервале .

Приведем теорему: если функция удовлетворяет в области уравнению Лапласа

, (1)

то при каждом и при любых математическое ожидание равно значению в начале траектории [12, c.204].

Доказательство. Придадим более точный смысл утверждению о произвольности радиуса . Будем считать, что задана некоторая плоскость , которая тождественно равна нулю при всех , превосходящих минимальное расстояние от до границы , а также при ; случай также допускается; и выбор осуществляется в соответствии с плотностью . Пусть - плотность распределения точки в . Тогда математическое ожидание величины равно

.

По теореме о среднем значении гармонической функции

.

Поэтому

.

При точка и . Применяя индукцию, получим утверждение теоремы.

Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданием по сферам.

Приведенную выше траекторию можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле. Пусть на границе области задана ограниченная функция . Обозначим через искомое решение, удовлетворяющее внутри уравнению (1) и обращающееся в при .

Фиксируем достаточно малую окрестность границы (рис. 3, Приложение D). Чтобы вычислить , будем строить траектории вида до тех пор, пока случайная точка не попадет в . Пусть - ближайшая к точка границы . Можем считать, что значение случайной величины приближенно равно . Построив траекторий такого типа, получим значения , по которым оценивается искомое решение

. (2)

Замети, что сходимость по вероятности

, (3)

когда не вытекает из теоремы Хинчина, говорящей о том, что последовательность одинаково распределенных независимых величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел, так как в сумме (3) фигурируют различных случайных величин, различающихся правилами выбора Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел - теоремой Чебышева [14, c.150]:

Если величины независимы и существует и , то при

(Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине неравенство Чебышева - ).

В нашем случае все , а дисперсии , где . В самом деле, как известно, максимум и минимум гармонической функции достигаются на границе области, так что при всех .

Такой метод расчета считается более быстрым, чем метод использования разностных уравнений, так как вдали от границы позволяет делать большие шаги . Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы .

Данный метод был предложен Дж. Брауном и обоснован М. Мюллером, который доказал, в частности, что вероятность того, что траектория никогда не попадет в , равна нулю. Дальнейшее развитие метода - организация зависимых испытаний, решение уравнений более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для которых известны функции Грина) [3, c.102].

Пусть - решение уравнения Лапласа в единичном квадрате , удовлетворяющее граничным условиям . Вычислить значение .

Выберем в квадрате сетку с шагом и перенумеруем узлы (рис. (4), Приложение Е). Для уравнения Лапласа формула (8) все более упрощается: , так что равно значению в том узле, в котором цепь попадает на границу.

Если случайная цифра окажется 0 или 4, то будем перемещаться в соседний узел справа, если окажется 1 или 5, то будем перемещаться влево, окажется 2 или 6, то перемещаться вверх, если окажется 3 или 7, то перемещаться вниз; значения , равные 8 или 9, опускаем.

В таблице 2 (Приложение F) приведены 16 случайных цепей. В первой строке записаны использованные случайные цифры, а в третьей - сама цепь (номера ). Соответствующие этим цепям значения равны . Среднее арифметическое этих величин дает нам приближенное значение решения в точке :

.

Из эмпирической оценки дисперсии

следует, что вероятная ошибка .

Точное решение рассмотренной задачи , так что , и фактическая ошибка расчета равна 0,08.

Приведенный здесь метод позволяет вычислять решения разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения.

Делись добром ;)